Номер 3, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 3, страница 79.

3. Какую запись называют общим видом первообразных функции $f$ на заданном промежутке?

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. То есть, производная от первообразной $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Основная теорема о первообразных гласит, что если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — это произвольная постоянная (константа). Это следует из того факта, что производная любой константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Таким образом, существует целое семейство функций-первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Какую запись называют общим видом первообразных функции f на заданном промежутке?
Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ на заданном промежутке и называют общим видом первообразных. Эта совокупность записывается в виде следующего выражения:

$F(x) + C$

В этой записи:

• $F(x)$ — это одна, любая конкретная, первообразная для функции $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная (или, как ее еще называют, константа интегрирования), $C \in \mathbb{R}$.

Эта запись охватывает все без исключения функции, которые являются первообразными для $f(x)$ на данном промежутке, и представляет собой семейство функций.

Ответ: Общим видом первообразных функции $f$ на заданном промежутке называют запись $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f$, а $C$ — произвольная постоянная.