Номер 11, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 11, страница 68.

11. Решите неравенство:

1) $\log_{x-2} (2x-9) < 0$;

2) $\log_{x+1} (5-x) > 1$.

1) Решим неравенство $ \log_{x-2}(2x-9) < 0 $. Данное логарифмическое неравенство имеет переменное основание. Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $ 0 = \log_{x-2}(1) $. Тогда неравенство примет вид $ \log_{x-2}(2x-9) < \log_{x-2}(1) $. Такое неравенство равносильно системе, которая учитывает область определения логарифма (основание больше 0 и не равно 1, аргумент больше 0) и знак неравенства в зависимости от величины основания (метод рационализации). Система выглядит следующим образом: $ \begin{cases} x-2 > 0 \\ x-2 \neq 1 \\ 2x-9 > 0 \\ (x-2-1)(2x-9-1) < 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:
1. Из $ x-2 > 0 $ следует $ x > 2 $.
2. Из $ x-2 \neq 1 $ следует $ x \neq 3 $.
3. Из $ 2x-9 > 0 $ следует $ 2x > 9 $, то есть $ x > 4.5 $.
4. $ (x-3)(2x-10) < 0 $, что эквивалентно $ 2(x-3)(x-5) < 0 $. Корнями выражения в левой части являются $ x=3 $ и $ x=5 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $ 3 < x < 5 $.
Теперь необходимо найти пересечение всех полученных решений: $ x > 2 $, $ x \neq 3 $, $ x > 4.5 $ и $ 3 < x < 5 $. Наиболее сильным из первых трех условий является $ x > 4.5 $. Найдем пересечение этого условия с последним: $ (4.5, \infty) \cap (3, 5) $. Результатом пересечения является интервал $ (4.5, 5) $.
Ответ: $ x \in (4.5, 5) $.

2) Решим неравенство $ \log_{x+1}(5-x) > 1 $. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ x+1 $: $ 1 = \log_{x+1}(x+1) $. Неравенство принимает вид: $ \log_{x+1}(5-x) > \log_{x+1}(x+1) $. Используя метод рационализации и учитывая область определения, запишем равносильную систему: $ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x+1 \neq 1 \\ 5-x > 0 \\ (x+1-1)((5-x)-(x+1)) > 0 \end{cases} $ Решим каждое неравенство системы:
1. Из $ x+1 > 0 $ следует $ x > -1 $.
2. Из $ x+1 \neq 1 $ следует $ x \neq 0 $.
3. Из $ 5-x > 0 $ следует $ x < 5 $.
4. $ x(5-x-x-1) > 0 $, что упрощается до $ x(4-2x) > 0 $ или $ 2x(2-x) > 0 $. Разделив на -2 и изменив знак неравенства, получим $ x(x-2) < 0 $. Решением этого квадратного неравенства является интервал $ 0 < x < 2 $.
Найдем пересечение решений всех неравенств. Сначала определим общую область допустимых значений из первых трех условий: $ x \in (-1, 5) $ и $ x \neq 0 $, то есть $ x \in (-1, 0) \cup (0, 5) $. Теперь пересечем эту область с решением четвертого неравенства $ (0, 2) $: $ ((-1, 0) \cup (0, 5)) \cap (0, 2) $. Результатом пересечения является интервал $ (0, 2) $.
Ответ: $ x \in (0, 2) $.