Номер 4, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4, страница 68.

4. Решите уравнение $|3^x - 1| + |3^x - 9| = 8.

4.

Для решения уравнения $|3^x - 1| + |3^x - 9| = 8$ введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем $t > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:

$|t - 1| + |t - 9| = 8$

Это уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля. Выражение $|a - b|$ равно расстоянию между точками $a$ и $b$ на числовой оси. Таким образом, наше уравнение означает, что сумма расстояний от точки $t$ до точек $1$ и $9$ равна $8$.

Расстояние между точками $1$ и $9$ равно $|9 - 1| = 8$. Сумма расстояний от точки $t$ до концов отрезка $[1, 9]$ может быть равна длине этого отрезка только в том случае, если точка $t$ находится на этом отрезке. Таким образом, решением уравнения для $t$ является отрезок $[1, 9]$.

Проверим это, рассмотрев все возможные случаи расположения $t$ на числовой прямой:

1. Если $t < 1$, то $t-1 < 0$ и $t-9 < 0$. Модули раскрываются с противоположным знаком:

$-(t - 1) - (t - 9) = 8$

$1 - t + 9 - t = 8$

$10 - 2t = 8$

$2t = 2$

$t = 1$. Это значение не удовлетворяет условию $t < 1$, поэтому в этом интервале решений нет.

2. Если $1 \le t \le 9$, то $t-1 \ge 0$ и $t-9 \le 0$. Первый модуль раскрывается со знаком плюс, второй — со знаком минус:

$(t - 1) - (t - 9) = 8$

$t - 1 - t + 9 = 8$

$8 = 8$

Это тождество означает, что любой значение $t$ из отрезка $[1, 9]$ является решением уравнения.

3. Если $t > 9$, то $t-1 > 0$ и $t-9 > 0$. Оба модуля раскрываются со знаком плюс:

$(t - 1) + (t - 9) = 8$

$2t - 10 = 8$

$2t = 18$

$t = 9$. Это значение не удовлетворяет условию $t > 9$, поэтому в этом интервале решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что решением для $t$ является отрезок $1 \le t \le 9$. Условие $t>0$ выполнено.

Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:

$1 \le 3^x \le 9$

Представим числа $1$ и $9$ в виде степени с основанием $3$:

$3^0 \le 3^x \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^x$ является строго возрастающей. Следовательно, мы можем перейти от неравенства для значений функции к неравенству для их аргументов (показателей степени), сохранив знаки неравенства:

$0 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [0, 2]$.