Номер 2, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Когда сделаны уроки - номер 2, страница 68.

Учебник.

2. Решите уравнение:

1) $2^x = 3 - x$;

2) $3^x + 4^x = 5^x$.

Решение 2.

1) $2^x = 3 - x$

Данное уравнение является трансцендентным. Для его решения проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях уравнения.

Пусть $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 3 - x$.

Функция $f(x) = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей области определения.

Функция $g(x) = 3 - x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$, поэтому она является строго убывающей на всей области определения.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $3 - 1 = 2$.

Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения.

Так как мы установили, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x = 1$.

2) $3^x + 4^x = 5^x$

Сначала попробуем найти корень методом подбора. Заметим, что числа 3, 4, 5 образуют Пифагорову тройку: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Это наводит на мысль проверить $x = 2$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

$5^2 = 25$.

Равенство $25 = 25$ верно, значит, $x = 2$ является корнем уравнения. Теперь докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным (не приводит к потере или появлению новых корней).

$\frac{3^x}{5^x} + \frac{4^x}{5^x} = \frac{5^x}{5^x}$

Используя свойство степени, получаем:

$(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.

Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = (\frac{3}{5})^x$ и $y_2(x) = (\frac{4}{5})^x$. Основания обеих функций ($a_1 = \frac{3}{5}$ и $a_2 = \frac{4}{5}$) находятся в интервале $(0; 1)$, следовательно, каждая из этих функций является строго убывающей.

Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Таким образом, функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.

Уравнение приняло вид $f(x) = 1$. Поскольку $f(x)$ — строго монотонная (в данном случае убывающая) функция, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения.

Так как мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 2$.