Номер 2, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2, страница 68.
№2 (с. 68)
Учебник. №2 (с. 68)
скриншот условия

2. Решите уравнение:
1) $2^x = 3 - x$;
2) $3^x + 4^x = 5^x$.
Решение 2. №2 (с. 68)
1) $2^x = 3 - x$
Данное уравнение является трансцендентным. Для его решения проанализируем функции, стоящие в левой и правой частях уравнения.
Пусть $f(x) = 2^x$ и $g(x) = 3 - x$.
Функция $f(x) = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$, поэтому она является строго возрастающей на всей области определения.
Функция $g(x) = 3 - x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k = -1$, поэтому она является строго убывающей на всей области определения.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1 = 2$.
Поскольку левая и правая части равны ($2=2$), $x=1$ является корнем уравнения.
Так как мы установили, что корень может быть только один, то $x = 1$ — единственное решение.
Ответ: $x = 1$.
2) $3^x + 4^x = 5^x$
Сначала попробуем найти корень методом подбора. Заметим, что числа 3, 4, 5 образуют Пифагорову тройку: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Это наводит на мысль проверить $x = 2$.
Подставим $x = 2$ в уравнение:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$5^2 = 25$.
Равенство $25 = 25$ верно, значит, $x = 2$ является корнем уравнения. Теперь докажем, что других корней нет.
Разделим обе части уравнения на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным (не приводит к потере или появлению новых корней).
$\frac{3^x}{5^x} + \frac{4^x}{5^x} = \frac{5^x}{5^x}$
Используя свойство степени, получаем:
$(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$
Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$.
Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = (\frac{3}{5})^x$ и $y_2(x) = (\frac{4}{5})^x$. Основания обеих функций ($a_1 = \frac{3}{5}$ и $a_2 = \frac{4}{5}$) находятся в интервале $(0; 1)$, следовательно, каждая из этих функций является строго убывающей.
Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Таким образом, функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой.
Уравнение приняло вид $f(x) = 1$. Поскольку $f(x)$ — строго монотонная (в данном случае убывающая) функция, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения.
Так как мы уже нашли корень $x=2$, он и является единственным решением уравнения.
Ответ: $x = 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 68 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 68), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.