Номер 6, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Когда сделаны уроки - номер 6, страница 68.

Учебник.

6. Решите неравенство $ (2^x - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0 $.

Решение 2.

Для решения неравенства $(2^x - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0$ сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x^2 - x - 6 \ge 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2$$x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 6 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Оно представляет собой произведение двух множителей. Множитель $\sqrt{x^2 - x - 6}$ всегда неотрицателен на своей области определения. Неравенство будет верным в двух случаях.

1. Значение выражения под корнем равно нулю. В этом случае все произведение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\ge 0$.$x^2 - x - 6 = 0$Это дает нам решения $x = -2$ и $x = 3$. Оба этих значения входят в ОДЗ и являются решениями исходного неравенства.

2. Значение выражения под корнем строго положительно, то есть $\sqrt{x^2 - x - 6} > 0$. Это выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.В этом случае, чтобы все произведение было неотрицательным, первый множитель также должен быть неотрицательным:$2^x - 2 \ge 0$$2^x \ge 2$Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, и мы можем сравнить показатели:$x \ge 1$

Теперь нам нужно найти пересечение полученного условия $x \ge 1$ с условиями данного случая $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.Пересечение множеств $[1, +\infty)$ и $((-\infty, -2) \cup (3, +\infty))$ дает нам интервал $(3, +\infty)$.

Итоговое решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.Объединяем решения из первого случая (точки $x = -2$ и $x = 3$) и второго случая (интервал $(3, +\infty)$):$\{-2\} \cup \{3\} \cup (3, +\infty) = \{-2\} \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [3, +\infty)$.