Номер 8, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8, страница 68.

8. Решите уравнение:

1) $\log_{7} (x + 8) = -x;$

2) $\log_{2}^2 x + (x - 1)\log_{2} x = 6 - 2x.$

1) $\log_7(x + 8) = -x$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 8 > 0$
$x > -8$

Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $\log_b a = c \iff b^c = a$.
$x + 8 = 7^{-x}$

Это трансцендентное уравнение. Решим его, рассмотрев функции, стоящие в левой и правой частях уравнения:
$f(x) = x + 8$
$g(x) = 7^{-x} = (\frac{1}{7})^x$

Проанализируем монотонность этих функций:

• Функция $f(x) = x + 8$ — линейная, возрастающая на всей числовой оси, так как ее производная $f'(x) = 1 > 0$.
• Функция $g(x) = 7^{-x}$ — показательная с основанием меньше 1, убывающая на всей числовой оси, так как ее производная $g'(x) = -7^{-x}\ln{7} < 0$.

Поскольку одна функция является строго возрастающей, а другая — строго убывающей, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень подбором. Проверим целые значения $x$, удовлетворяющие ОДЗ.
Пусть $x = -1$.
Левая часть: $\log_7(-1 + 8) = \log_7 7 = 1$.
Правая часть: $-(-1) = 1$.
$1 = 1$.
Следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения. Так как корень единственный, других решений нет.

Корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($ -1 > -8 $).

Ответ: -1.

2) $\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x = 6 - 2x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x > 0$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x - (6 - 2x) = 0$
$\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x + 2x - 6 = 0$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной $\log_2 x$. Сделаем замену: $y = \log_2 x$.
$y^2 + (x - 1)y + (2x - 6) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$, используя формулу корней. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=x-1$, $c=2x-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (x - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2x - 6) = x^2 - 2x + 1 - 8x + 24 = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Теперь найдем корни для $y$:
$y = \frac{-(x-1) \pm \sqrt{(x-5)^2}}{2} = \frac{1-x \pm (x-5)}{2}$

Рассмотрим два случая:

1. $y_1 = \frac{1 - x + (x - 5)}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

2. $y_2 = \frac{1 - x - (x - 5)}{2} = \frac{1 - x - x + 5}{2} = \frac{6 - 2x}{2} = 3 - x$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = \log_2 x$. Получим совокупность двух уравнений:
$\log_2 x = -2$
$\log_2 x = 3 - x$

Решим каждое уравнение по отдельности.
Из первого уравнения:
$\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} \implies x = \frac{1}{4}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{4} > 0 $).

Решим второе уравнение:
$\log_2 x = 3 - x$
Это также трансцендентное уравнение. Рассмотрим функции $f(x) = \log_2 x$ (возрастающая на $x > 0$) и $g(x) = 3 - x$ (убывающая). Уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором.
Пусть $x = 2$.
Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
Правая часть: $3 - 2 = 1$.
$1 = 1$.
Значит, $x = 2$ является корнем.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 2 > 0 $).

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{1}{4}; 2$.