Номер 1, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 1, страница 79.

1. Какую функцию называют первообразной данной функции на заданном промежутке?

1.

Функцию $F(x)$ называют первообразной для функции $f(x)$ на некотором заданном промежутке $I$, если для всех значений $x$ из этого промежутка справедливо равенство:

$F'(x) = f(x)$

Это означает, что первообразная — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$. Нахождение первообразной (или интегрирование) является операцией, обратной дифференцированию.

Пример:

Для функции $f(x) = 2x$, первообразной является функция $F(x) = x^2$, потому что производная от $x^2$ равна $2x$, то есть $(x^2)' = 2x$.

Важно понимать, что если функция $f(x)$ имеет одну первообразную $F(x)$, то она имеет бесконечное множество первообразных. Все они отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину $C$ и имеют вид $F(x) + C$. Это связано с тем, что производная любой константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Множество всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается $\int f(x) \,dx$.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке называют такую функцию $F(x)$, производная которой в каждой точке этого промежутка равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.