Номер 2, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 2, страница 79.

2. Сформулируйте основное свойство первообразной.

Основное свойство первообразной, которое является фундаментальной теоремой в интегральном исчислении, устанавливает связь между всеми возможными первообразными для одной и той же функции.

Формулировка свойства следующая: если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$, то любая другая первообразная для $f(x)$ на этом же промежутке может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа).

Это свойство включает в себя два утверждения:

1. Любая функция вида $F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$.

2. Для любой первообразной $G(x)$ функции $f(x)$ существует такая константа $C$, что $G(x) = F(x) + C$.

Доказательство:

Сначала докажем первое утверждение. Чтобы показать, что функция $Y(x) = F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти ее производную и убедиться, что она равна $f(x)$. Используя правило дифференцирования суммы, получаем: $$Y'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + (C)'$$ По условию, $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$. Производная от константы $C$ равна нулю, то есть $(C)'=0$. Таким образом: $$Y'(x) = f(x) + 0 = f(x)$$ Это доказывает, что любая функция вида $F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $G(x)$ — это какая-либо другая (произвольная) первообразная для функции $f(x)$ на том же промежутке $I$. Это означает, что $G'(x) = f(x)$. Рассмотрим разность двух первообразных, $F(x)$ и $G(x)$, и обозначим ее как новую функцию $\Phi(x) = G(x) - F(x)$. Найдем производную этой функции: $$\Phi'(x) = (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$ Из дифференциального исчисления известно (как следствие из теоремы Лагранжа), что если производная функции равна нулю на всем промежутке, то сама функция на этом промежутке является постоянной. Следовательно, $\Phi(x) = C$ для некоторой константы $C$. Из этого следует, что $G(x) - F(x) = C$, что эквивалентно $G(x) = F(x) + C$. Это доказывает, что любая первообразная $G(x)$ отличается от первообразной $F(x)$ на некоторую константу.

Геометрический смысл этого свойства состоит в том, что графики всех первообразных для данной функции $f(x)$ представляют собой семейство кривых, которые получаются друг из друга путем параллельного переноса вдоль оси ординат $Oy$.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается $\int f(x) \,dx$. Таким образом, основное свойство первообразной позволяет записать: $$\int f(x) \,dx = F(x) + C$$

Ответ: Основное свойство первообразной гласит, что если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$ на заданном промежутке, то все множество первообразных для $f(x)$ на этом промежутке задается формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.