Номер 9, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 9, страница 68.

9. Решите уравнение

$\operatorname{lg}^2(x+1) = \operatorname{lg}(x+1)\operatorname{lg}(x-1) + 2\operatorname{lg}^2(x-1)$

Для решения уравнения $\lg^2(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^2(x - 1)$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}x + 1 > 0 \\x - 1 > 0\end{cases}\implies\begin{cases}x > -1 \\x > 1\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in (1, \infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\lg^2(x + 1) - \lg(x + 1)\lg(x - 1) - 2\lg^2(x - 1) = 0$

Данное уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\lg(x + 1)$ и $\lg(x - 1)$. Заметим, что $\lg(x - 1) \neq 0$, так как если $\lg(x - 1) = 0$, то $x - 1 = 1 \implies x = 2$. Подстановка $x = 2$ в исходное уравнение приводит к неверному равенству $\lg^2(3) = 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\lg^2(x - 1)$:

$\left(\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)}\right)^2 - \frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} - 2 = 0$

Введем замену $t = \frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения, найденными по теореме Виета, являются $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} = 2$
$\lg(x + 1) = 2\lg(x - 1)$
$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^2)$
$x + 1 = (x - 1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем два возможных корня: $x = 0$ и $x = 3$.

Случай 2: $t = -1$.
$\frac{\lg(x + 1)}{\lg(x - 1)} = -1$
$\lg(x + 1) = -\lg(x - 1)$
$\lg(x + 1) = \lg\left((x - 1)^{-1}\right)$
$x + 1 = \frac{1}{x - 1}$
$(x+1)(x-1) = 1$
$x^2 - 1 = 1$
$x^2 = 2$
Получаем еще два возможных корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

Проверим все найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
- $x = 3$ — удовлетворяет ОДЗ ($3 > 1$).
- $x = \sqrt{2}$ — удовлетворяет ОДЗ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$).
- $x = 0$ — не удовлетворяет ОДЗ ($0 \ngtr 1$).
- $x = -\sqrt{2}$ — не удовлетворяет ОДЗ ($-\sqrt{2} \ngtr 1$).

Таким образом, решениями уравнения являются два корня.

Ответ: $3; \sqrt{2}$.