Номер 3, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3, страница 68.

3. Решите неравенство $x^2 \cdot 3^x + 9 < x^{2} + 3^{x+2}$.

Исходное неравенство:

$x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 3^{x+2}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 \cdot 3^x + 9 - x^2 - 3^{x+2} < 0$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить выражение $3^{x+2}$:

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

Подставим это в неравенство:

$x^2 \cdot 3^x + 9 - x^2 - 9 \cdot 3^x < 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(x^2 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^x) + (9 - x^2) < 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3^x(x^2 - 9) - (x^2 - 9) < 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x^2 - 9)$:

$(x^2 - 9)(3^x - 1) < 0$

Мы получили неравенство, которое можно решить методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя.

1. Найдем нули первого множителя: $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$

2. Найдем нули второго множителя: $3^x - 1 = 0$

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x_3 = 0$

Отметим найденные точки $(-3, 0, 3)$ на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, +\infty)$. Определим знак выражения $(x^2 - 9)(3^x - 1)$ на каждом интервале, выбрав пробную точку.

• При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$:
  $((-4)^2 - 9)(3^{-4} - 1) = (16 - 9)(\frac{1}{81} - 1) = 7 \cdot (-\frac{80}{81}) < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (-3, 0)$, например $x=-1$:
  $((-1)^2 - 9)(3^{-1} - 1) = (1 - 9)(\frac{1}{3} - 1) = (-8) \cdot (-\frac{2}{3}) > 0$. Знак "плюс".
• При $x \in (0, 3)$, например $x=1$:
  $((1)^2 - 9)(3^1 - 1) = (1 - 9)(3 - 1) = (-8) \cdot 2 < 0$. Знак "минус".
• При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$:
  $((4)^2 - 9)(3^4 - 1) = (16 - 9)(81 - 1) = 7 \cdot 80 > 0$. Знак "плюс".

Поскольку мы решаем неравенство $(x^2 - 9)(3^x - 1) < 0$, нас интересуют интервалы, где выражение отрицательно. Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(0, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$