Номер 8.21, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Упражнения - номер 8.21, страница 64.

Учебник.

8.21. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = xe^x$

2) $f(x) = xe^{\frac{x}{2}}$

3) $f(x) = e^{-x^2}$

4) $f(x) = x^2 - 2\ln x$

5) $f(x) = \ln (9 - x^2)$

Решение.

Решение 2.

1) $f(x) = xe^x$

1. Область определения
Функция определена для всех действительных значений $x$, так как множители $x$ и $e^x$ определены на всей числовой оси.
$D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность, периодичность
$f(-x) = (-x)e^{-x} = -xe^{-x}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy: $x = 0 \implies f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $f(x) = 0 \implies xe^x = 0$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x = 0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.

4. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} xe^x = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.
$\lim_{x \to -\infty} xe^x = [-\infty \cdot 0] = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}}$. Применим правило Лопиталя:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{(x)'}{(e^{-x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0$.
Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.
Наклонных асимптот при $x \to +\infty$ нет, так как $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума
Найдем первую производную:
$f'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \implies e^x(1+x) = 0 \implies x = -1$.
При $x < -1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x > -1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = -1$ происходит смена знака производной с "−" на "+", следовательно, это точка локального минимума.
$f_{min} = f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -1/e \approx -0.37$.
Точка минимума: $(-1, -1/e)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Найдем вторую производную:
$f''(x) = (e^x(1+x))' = (e^x)'(1+x) + e^x(1+x)' = e^x(1+x) + e^x = e^x(x+2)$.
Найдем точки, где $f''(x) = 0 \implies e^x(x+2) = 0 \implies x = -2$.
При $x < -2$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
При $x > -2$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x=-2$ происходит смена знака второй производной, следовательно, это точка перегиба.
$f(-2) = -2e^{-2} = -2/e^2 \approx -0.27$.
Точка перегиба: $(-2, -2/e^2)$.

Ответ: Функция $f(x) = xe^x$ определена на всей числовой оси. График проходит через начало координат $(0,0)$. При $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к оси Ox ($y=0$). Функция убывает на интервале $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$. Точка минимума $(-1, -1/e)$. График является вогнутым на $(-\infty, -2]$ и выпуклым на $[-2, +\infty)$. Точка перегиба $(-2, -2/e^2)$. При $x \to +\infty$ функция неограниченно возрастает.

---

2) $f(x) = xe^{-\frac{x}{2}}$

1. Область определения
$D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность, периодичность
$f(-x) = (-x)e^{-\frac{-x}{2}} = -xe^{\frac{x}{2}}$. Функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy: $x = 0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $f(x) = 0 \implies xe^{-\frac{x}{2}} = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to -\infty} xe^{-\frac{x}{2}} = [-\infty \cdot \infty] = -\infty$. Асимптоты слева нет.
$\lim_{x \to +\infty} xe^{-\frac{x}{2}} = [\infty \cdot 0] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$. По правилу Лопиталя:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{+\infty} = 0$.
$y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума
$f'(x) = (x)'e^{-\frac{x}{2}} + x(e^{-\frac{x}{2}})' = e^{-\frac{x}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x}{2}} \cdot (-\frac{1}{2}) = e^{-\frac{x}{2}}(1-\frac{x}{2})$.
$f'(x) = 0 \implies 1-\frac{x}{2} = 0 \implies x=2$.
При $x < 2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x > 2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
$x=2$ — точка локального максимума.
$f_{max} = f(2) = 2e^{-1} = 2/e \approx 0.74$.
Точка максимума: $(2, 2/e)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
$f''(x) = (e^{-\frac{x}{2}}(1-\frac{x}{2}))' = e^{-\frac{x}{2}}(-\frac{1}{2})(1-\frac{x}{2}) + e^{-\frac{x}{2}}(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}(1-\frac{x}{2} + 1) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}(2-\frac{x}{2}) = \frac{1}{4}e^{-\frac{x}{2}}(x-4)$.
$f''(x) = 0 \implies x-4 = 0 \implies x=4$.
При $x < 4$, $f''(x) < 0$, график вогнутый.
При $x > 4$, $f''(x) > 0$, график выпуклый.
$x=4$ — точка перегиба.
$f(4) = 4e^{-2} = 4/e^2 \approx 0.54$.
Точка перегиба: $(4, 4/e^2)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой оси. График проходит через начало координат. При $x \to +\infty$ график асимптотически приближается к оси Ox ($y=0$). Функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$. Точка максимума $(2, 2/e)$. График вогнутый на $(-\infty, 4]$ и выпуклый на $[4, +\infty)$. Точка перегиба $(4, 4/e^2)$. При $x \to -\infty$ функция неограниченно убывает.

---

3) $f(x) = e^{-x^2}$

1. Область определения
$D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность, периодичность
$f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy: $x = 0 \implies f(0) = e^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox: $f(x) = e^{-x^2} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как $e^z > 0$. Пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to \pm\infty} e^{-x^2} = e^{-\infty} = 0$.
$y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума
$f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$.
$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0$.
При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
$x=0$ — точка локального (и глобального) максимума.
$f_{max} = f(0) = 1$.
Точка максимума: $(0, 1)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
$f''(x) = (-2e^{-x^2}) - 2x(e^{-x^2} \cdot (-2x)) = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$.
$f''(x) = 0 \implies 2x^2-1 = 0 \implies x = \pm 1/\sqrt{2}$.
При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый.
При $x \in (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график вогнутый.
$x = \pm 1/\sqrt{2}$ — точки перегиба.
$f(\pm 1/\sqrt{2}) = e^{-(1/\sqrt{2})^2} = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e} \approx 0.61$.
Точки перегиба: $(\pm 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{e})$.

Ответ: Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Пересекает ось Oy в точке $(0,1)$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$. Точка максимума $(0, 1)$. График выпуклый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$, вогнутый на $[-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{e})$. График имеет форму "колокола" (кривая Гаусса).

---

4) $f(x) = x^2 - 2\ln x$

1. Область определения
Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
$D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность, периодичность
Область определения несимметрична относительно нуля, функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy: $x=0$ не входит в область определения. Пересечений нет.
С осью Ox: $f(x)=0 \implies x^2 = 2\ln x$. Как будет показано ниже, минимальное значение функции равно 1, поэтому $f(x) > 0$ на всей области определения. Пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты
Вертикальная асимптота:
$\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2\ln x) = 0 - 2(-\infty) = +\infty$.
$x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота.
Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 2\ln x) = +\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума
$f'(x) = 2x - 2/x = \frac{2x^2-2}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$.
$f'(x) = 0 \implies x=1$ (так как $x>0$).
При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=1$ — точка локального минимума.
$f_{min} = f(1) = 1^2 - 2\ln 1 = 1 - 0 = 1$.
Точка минимума: $(1, 1)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
$f''(x) = (2x - 2x^{-1})' = 2 - (-2x^{-2}) = 2 + 2/x^2$.
Так как $x^2 > 0$ в области определения, то $f''(x) = 2 + 2/x^2 > 0$ всегда.
График функции является выпуклым (выпуклым вниз) на всей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция определена для $x > 0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. Пересечений с осями координат нет. Функция убывает на $(0, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Точка минимума $(1, 1)$. График функции всегда выпуклый (вниз).

---

5) $f(x) = \ln(9 - x^2)$

1. Область определения
$9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9 \implies -3 < x < 3$.
$D(f) = (-3, 3)$.

2. Четность, периодичность
$f(-x) = \ln(9 - (-x)^2) = \ln(9 - x^2) = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy: $x = 0 \implies f(0) = \ln 9 \approx 2.2$. Точка $(0, \ln 9)$.
С осью Ox: $f(x) = 0 \implies \ln(9-x^2) = 0 \implies 9-x^2 = 1 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Точки $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$.

4. Асимптоты
Вертикальные асимптоты на границах области определения:
$\lim_{x \to 3^-} \ln(9 - x^2) = \ln(0^+) = -\infty$.
$\lim_{x \to -3^+} \ln(9 - x^2) = \ln(0^+) = -\infty$.
Прямые $x=3$ и $x=-3$ — вертикальные асимптоты.
Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как область определения ограничена.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума
$f'(x) = \frac{1}{9-x^2} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{9-x^2}$.
$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0$.
В области определения $D(f)=(-3,3)$ знаменатель $9-x^2 > 0$. Знак производной зависит от знака числителя $-2x$.
При $x \in (-3, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
$x=0$ — точка максимума.
$f_{max} = f(0) = \ln 9$.
Точка максимума: $(0, \ln 9)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
$f''(x) = \left(-\frac{2x}{9-x^2}\right)' = -\frac{(2x)'(9-x^2) - 2x(9-x^2)'}{(9-x^2)^2} = -\frac{2(9-x^2) - 2x(-2x)}{(9-x^2)^2} = -\frac{18-2x^2+4x^2}{(9-x^2)^2} = -\frac{18+2x^2}{(9-x^2)^2}$.
Числитель $-(18+2x^2)$ всегда отрицателен, знаменатель $(9-x^2)^2$ всегда положителен.
Следовательно, $f''(x) < 0$ на всей области определения.
График функции является вогнутым (выпуклым вверх) на всем интервале $(-3, 3)$. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция определена на интервале $(-3, 3)$ и является четной. Прямые $x=-3$ и $x=3$ — вертикальные асимптоты, к которым график стремится на $-\infty$. График пересекает оси в точках $(0, \ln 9)$ и $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$. Функция возрастает на $(-3, 0]$ и убывает на $[0, 3)$. Точка максимума $(0, \ln 9)$. График всегда вогнутый (выпуклый вверх).