Номер 8.18, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.18, страница 63.

8.18. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = xe^{x/2}$;

2) $f(x) = e^{x^4-2x^2}$;

3) $f(x) = 5^{-x^3+3x+1}$;

4) $f(x) = (4x - 1)e^{2x}$;

5) $f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}$;

6) $f(x) = \frac{x+3}{e^x}$;

7) $f(x) = 0.5x^2 - \ln x$;

8) $f(x) = x \ln^2 x$;

9) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$;

10) $f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}$;

11) $f(x) = \ln^3 x - 12 \ln x$;

12) $f(x) = \lg^4 x - 2 \lg^2 x$.

1) $f(x) = xe^{\frac{x}{2}}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)'e^{\frac{x}{2}} + x(e^{\frac{x}{2}})' = 1 \cdot e^{\frac{x}{2}} + x \cdot e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = e^{\frac{x}{2}}(1 + \frac{x}{2})$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$e^{\frac{x}{2}}(1 + \frac{x}{2}) = 0$.

Так как $e^{\frac{x}{2}} > 0$ для любого $x$, то $1 + \frac{x}{2} = 0$, откуда $x = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = -2$.

При $x < -2$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.

При $x > -2$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -2]$. Точка минимума $x_{min} = -2$.

2) $f(x) = e^{x^4-2x^2}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = e^{x^4-2x^2} \cdot (x^4-2x^2)' = e^{x^4-2x^2} \cdot (4x^3-4x) = 4x(x^2-1)e^{x^4-2x^2} = 4x(x-1)(x+1)e^{x^4-2x^2}$.

3. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$4x(x-1)(x+1)e^{x^4-2x^2} = 0$.

Так как $e^{x^4-2x^2} > 0$, то $4x(x-1)(x+1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, $x_{min} = -1$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, $x_{max} = 0$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, $x_{min} = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точки минимума $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$, точка максимума $x_{max} = 0$.

3) $f(x) = 5^{-x^3+3x+1}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

$f'(x) = 5^{-x^3+3x+1} \cdot \ln 5 \cdot (-x^3+3x+1)' = 5^{-x^3+3x+1} \cdot \ln 5 \cdot (-3x^2+3) = -3\ln 5 \cdot (x^2-1) \cdot 5^{-x^3+3x+1}$.

3. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-3\ln 5 \cdot (x^2-1) \cdot 5^{-x^3+3x+1} = 0$.

Так как $5^{\dots} > 0$ и $\ln 5 > 0$, то $x^2-1 = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $-(x^2-1)$.

При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, $x_{min} = -1$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, $x_{max} = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -1$, точка максимума $x_{max} = 1$.

4) $f(x) = (4x-1)e^{2x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (4x-1)'e^{2x} + (4x-1)(e^{2x})' = 4e^{2x} + (4x-1) \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(4 + 8x - 2) = (8x+2)e^{2x} = 2(4x+1)e^{2x}$.

3. Находим критические точки: $2(4x+1)e^{2x} = 0$.

Так как $e^{2x} > 0$, то $4x+1 = 0$, откуда $x = -1/4$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $4x+1$.

При $x < -1/4$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > -1/4$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -1/4$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1/4; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1/4]$. Точка минимума $x_{min} = -1/4$.

5) $f(x) = x^3 \cdot 3^{-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (x^3)' \cdot 3^{-x} + x^3 \cdot (3^{-x})' = 3x^2 \cdot 3^{-x} + x^3 \cdot 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = x^2 \cdot 3^{-x} (3 - x\ln 3)$.

3. Находим критические точки: $x^2 \cdot 3^{-x} (3 - x\ln 3) = 0$.

Критические точки: $x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$ и $3 - x\ln 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3/\ln 3$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $x^2(3 - x\ln 3)$. Так как $x^2 \ge 0$, знак зависит от $3 - x\ln 3$.

При $x < 3/\ln 3$ (включая $x<0$ и $0<x<3/\ln 3$), $3 - x\ln 3 > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x > 3/\ln 3$, $3 - x\ln 3 < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x=0$ производная равна нулю, но не меняет знак, поэтому это не точка экстремума. В точке $x = 3/\ln 3$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3/\ln 3]$, убывает на промежутке $[3/\ln 3; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 3/\ln 3$.

6) $f(x) = \frac{x+3}{e^x} = (x+3)e^{-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (x+3)'e^{-x} + (x+3)(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + (x+3)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - (x+3)) = e^{-x}(-x-2) = -(x+2)e^{-x}$.

3. Находим критические точки: $-(x+2)e^{-x} = 0$.

Так как $e^{-x} > 0$, то $-(x+2) = 0$, откуда $x = -2$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $-(x+2)$.

При $x < -2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x > -2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$, убывает на промежутке $[-2; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -2$.

7) $f(x) = 0.5x^2 - \ln x$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (0.5x^2)' - (\ln x)' = 0.5 \cdot 2x - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$.

3. Находим критические точки: $\frac{x^2-1}{x} = 0$.

Учитывая область определения $x > 0$, получаем $x^2-1 = 0 \Rightarrow x=1$.

4. Знак производной на $D(f)$ определяется знаком числителя $x^2-1$.

При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 1]$. Точка минимума $x_{min} = 1$.

8) $f(x) = x\ln^2 x$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу произведения:

$f'(x) = (x)'\ln^2 x + x(\ln^2 x)' = 1 \cdot \ln^2 x + x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \ln^2 x + 2\ln x = \ln x(\ln x + 2)$.

3. Находим критические точки: $\ln x(\ln x + 2) = 0$.

Отсюда $\ln x = 0 \Rightarrow x_1 = e^0 = 1$ или $\ln x = -2 \Rightarrow x_2 = e^{-2} = 1/e^2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1/e^2)$, $(1/e^2, 1)$, $(1, +\infty)$.

При $x \in (0, 1/e^2)$, $\ln x < -2$, тогда $\ln x < 0$ и $\ln x + 2 < 0$. $f'(x) = (-) \cdot (-) = + > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (1/e^2, 1)$, $-2 < \ln x < 0$, тогда $\ln x < 0$ и $\ln x + 2 > 0$. $f'(x) = (-) \cdot (+) = - < 0$. Функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$, $\ln x > 0$, тогда $\ln x > 0$ и $\ln x + 2 > 0$. $f'(x) = (+) \cdot (+) = + > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x = 1/e^2$ знак меняется с $+$ на $-$, $x_{max} = 1/e^2$. В точке $x=1$ знак меняется с $-$ на $+$, $x_{min} = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 1/e^2]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[1/e^2; 1]$. Точка максимума $x_{max} = 1/e^2$, точка минимума $x_{min} = 1$.

9) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{(\ln x)'x - \ln x(x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$.

3. Находим критические точки: $\frac{1-\ln x}{x^2} = 0$.

Так как $x^2 > 0$ на $D(f)$, то $1-\ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.

4. Знак производной определяется знаком числителя $1-\ln x$.

При $x \in (0, e)$, $\ln x < 1$, $1-\ln x > 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (e, +\infty)$, $\ln x > 1$, $1-\ln x < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. В точке $x = e$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, это точка максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; e]$, убывает на промежутке $[e; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = e$.

10) $f(x) = \ln x^2 + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: $x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne 0$ (из-за дроби). $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функцию можно записать как $f(x) = 2\ln|x| + \frac{2}{x}$.

2. Находим производную: $f'(x) = (2\ln|x|)' + (2x^{-1})' = 2 \cdot \frac{1}{x} + 2(-1)x^{-2} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{2x-2}{x^2} = \frac{2(x-1)}{x^2}$.

3. Находим критические точки: $\frac{2(x-1)}{x^2} = 0$.

Отсюда $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Производная не существует в точке $x=0$, но она не входит в область определения.

4. Знак производной определяется знаком числителя $x-1$ (т.к. $x^2>0$ на $D(f)$).

При $x \in (-\infty, 0)$, $x-1 < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0, 1)$, $x-1 < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (1, +\infty)$, $x-1 > 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, значит, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 1]$. Точка минимума $x_{min} = 1$.

11) $f(x) = \ln^3 x - 12\ln x$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = 3\ln^2 x \cdot (\ln x)' - 12(\ln x)' = 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x} - \frac{12}{x} = \frac{3\ln^2 x - 12}{x} = \frac{3(\ln^2 x - 4)}{x}$.

3. Находим критические точки: $\frac{3(\ln^2 x - 4)}{x} = 0$.

На $D(f)$ это эквивалентно $\ln^2 x - 4 = 0 \Rightarrow \ln^2 x = 4$.

Отсюда $\ln x = 2 \Rightarrow x_1 = e^2$ и $\ln x = -2 \Rightarrow x_2 = e^{-2} = 1/e^2$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $\ln^2 x - 4$.

При $x \in (0, 1/e^2)$, $\ln x < -2$, $\ln^2 x > 4$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (1/e^2, e^2)$, $-2 < \ln x < 2$, $\ln^2 x < 4$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (e^2, +\infty)$, $\ln x > 2$, $\ln^2 x > 4$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

5. В точке $x=1/e^2$ знак меняется с $+$ на $-$, $x_{max} = 1/e^2$. В точке $x=e^2$ знак меняется с $-$ на $+$, $x_{min} = e^2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 1/e^2]$ и $[e^2; +\infty)$, убывает на промежутке $[1/e^2; e^2]$. Точка максимума $x_{max} = 1/e^2$, точка минимума $x_{min} = e^2$.

12) $f(x) = \lg^4 x - 2\lg^2 x$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Находим производную, помня, что $(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$:

$f'(x) = 4\lg^3 x \cdot \frac{1}{x \ln 10} - 2 \cdot 2\lg x \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{4\lg x (\lg^2 x - 1)}{x \ln 10}$.

3. Находим критические точки: $\frac{4\lg x (\lg^2 x - 1)}{x \ln 10} = 0$.

На $D(f)$ это эквивалентно $\lg x (\lg^2 x - 1) = 0$.

Отсюда $\lg x = 0 \Rightarrow x_1 = 10^0 = 1$.

Или $\lg^2 x = 1 \Rightarrow \lg x = 1 \Rightarrow x_2 = 10^1 = 10$ и $\lg x = -1 \Rightarrow x_3 = 10^{-1} = 0.1$.

4. Знак производной определяется знаком выражения $\lg x (\lg^2 x - 1) = \lg x (\lg x - 1)(\lg x + 1)$.

При $x \in (0, 0.1)$, $\lg x < -1$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (0.1, 1)$, $-1 < \lg x < 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (1, 10)$, $0 < \lg x < 1$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (10, +\infty)$, $\lg x > 1$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

5. Точки экстремума: $x_{min} = 0.1$, $x_{max} = 1$, $x_{min} = 10$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0.1; 1]$ и $[10; +\infty)$, убывает на промежутках $(0; 0.1]$ и $[1; 10]$. Точки минимума $x_{min} = 0.1$ и $x_{min} = 10$, точка максимума $x_{max} = 1$.