Номер 8.12, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.12, страница 62.

8.12. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 2e^x - \cos x$, $x_0 = 0$;

3) $f(x) = 3^{2x-3}$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = 4x - \ln 4$, $x_0 = 1$;

5) $f(x) = \ln (3x - 5)$, $x_0 = 2$;

6) $f(x) = \log_2 (x + 3)$, $x_0 = 1$.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

---

1) Дана функция $f(x) = e^{5x}$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^{5 \cdot 0} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} = 5e^0 = 5$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=5$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 5(x - 0)$

$y = 1 + 5x$

Ответ: $y = 5x + 1$.

---

2) Дана функция $f(x) = 2e^x - \cos x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = 2e^0 - \cos 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2e^x - \cos x)' = 2(e^x)' - (\cos x)' = 2e^x - (-\sin x) = 2e^x + \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = 2e^0 + \sin 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 1 + 2x$

Ответ: $y = 2x + 1$.

---

3) Дана функция $f(x) = 3^{2x-3}$ и точка $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = 3^{2 \cdot 2 - 3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)'=a^u \ln a \cdot u'$:

$f'(x) = (3^{2x-3})' = 3^{2x-3} \cdot \ln 3 \cdot (2x-3)' = 3^{2x-3} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 2 \ln 3 \cdot 3^{2x-3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = 2 \ln 3 \cdot 3^{2 \cdot 2 - 3} = 2 \ln 3 \cdot 3^1 = 6 \ln 3$.

4. Подставим найденные значения $f(2)=3$ и $f'(2)=6 \ln 3$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 6 \ln 3 (x - 2)$

$y = 3 + (6 \ln 3)x - 12 \ln 3$

Ответ: $y = (6 \ln 3)x + 3 - 12 \ln 3$.

---

4) Дана функция $f(x) = 4x - \ln 4$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 4 \cdot 1 - \ln 4 = 4 - \ln 4$.

2. Найдем производную функции (обратите внимание, что $\ln 4$ — это константа):

$f'(x) = (4x - \ln 4)' = (4x)' - (\ln 4)' = 4 - 0 = 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 4$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=4 - \ln 4$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:

$y = (4 - \ln 4) + 4(x - 1)$

$y = 4 - \ln 4 + 4x - 4$

$y = 4x - \ln 4$

Ответ: $y = 4x - \ln 4$.

---

5) Дана функция $f(x) = \ln(3x-5)$ и точка $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = \ln(3 \cdot 2 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln 1 = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(3x-5))' = \frac{1}{3x-5} \cdot (3x-5)' = \frac{3}{3x-5}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = \frac{3}{3 \cdot 2 - 5} = \frac{3}{6-5} = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(2)=0$ и $f'(2)=3$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 3(x - 2)$

$y = 3x - 6$

Ответ: $y = 3x - 6$.

---

6) Дана функция $f(x) = \log_2(x+3)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = \log_2(1+3) = \log_2 4 = 2$.

2. Найдем производную функции, используя формулу производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$f'(x) = (\log_2(x+3))' = \frac{(x+3)'}{(x+3) \ln 2} = \frac{1}{(x+3) \ln 2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = \frac{1}{(1+3) \ln 2} = \frac{1}{4 \ln 2}$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=2$ и $f'(1)=\frac{1}{4 \ln 2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{4 \ln 2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{x}{4 \ln 2} - \frac{1}{4 \ln 2}$

$y = \frac{1}{4 \ln 2}x + 2 - \frac{1}{4 \ln 2}$

Ответ: $y = \frac{1}{4 \ln 2}x + 2 - \frac{1}{4 \ln 2}$.