Номер 8.13, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.13, страница 62.

8.13. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^x + e^{-x};$

2) $f(x) = (2^x - 7)(2^x - 9).$

1)

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее уравнение имеет вид $y=c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю. В свою очередь, угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Дана функция: $f(x) = e^x + e^{-x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования показательной функции и сложной функции: $f'(x) = (e^x + e^{-x})' = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x + e^{-x} \cdot (-1) = e^x - e^{-x}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания: $f'(x_0) = 0$ $e^{x_0} - e^{-x_0} = 0$ $e^{x_0} = e^{-x_0}$ $e^{x_0} = \frac{1}{e^{x_0}}$ $(e^{x_0})^2 = 1$ $e^{2x_0} = 1$ Так как $e^0 = 1$, то $2x_0 = 0$, откуда $x_0 = 0$.

Теперь найдем ординату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 0$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0) = f(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$.

Точка касания имеет координаты $(0, 2)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$. Следовательно, уравнение искомой касательной: $y = 2$.

Ответ: $y = 2$.

2)

Действуем аналогично первому пункту. Дана функция: $f(x) = (2^x - 7)(2^x - 9)$.

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки: $f(x) = (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x - 7 \cdot 2^x + 63 = 2^{2x} - 16 \cdot 2^x + 63$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$: $f'(x) = (2^{2x} - 16 \cdot 2^x + 63)' = (2^{2x})' - (16 \cdot 2^x)' + (63)'$ $f'(x) = 2^{2x} \ln(2) \cdot (2x)' - 16 \cdot (2^x \ln(2)) + 0$ $f'(x) = 2^{2x} \ln(2) \cdot 2 - 16 \cdot 2^x \ln(2)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания: $2 \ln(2) \cdot 2^{2x_0} - 16 \ln(2) \cdot 2^{x_0} = 0$. Вынесем общий множитель $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0}$ за скобки: $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0} (2^{x_0} - 8) = 0$.

Поскольку множитель $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0}$ всегда больше нуля, равенство возможно только если выражение в скобках равно нулю: $2^{x_0} - 8 = 0$ $2^{x_0} = 8$ $2^{x_0} = 2^3$ $x_0 = 3$.

Теперь найдем ординату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0) = f(3) = (2^3 - 7)(2^3 - 9) = (8 - 7)(8 - 9) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Точка касания имеет координаты $(3, -1)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$. Следовательно, уравнение искомой касательной: $y = -1$.

Ответ: $y = -1$.