Номер 8.6, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.6, страница 62.

8.6. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x} + e^{-4x}, x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{-x}\text{tg}x, x_0 = 0$;

3) $f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}, x_0 = -1$.

1) Дана функция $f(x) = e^{5x} + e^{-4x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом дифференцирования сложной функции $(e^{u})' = e^u \cdot u'$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{5x} + e^{-4x})' = (e^{5x})' + (e^{-4x})' = e^{5x} \cdot (5x)' + e^{-4x} \cdot (-4x)' = 5e^{5x} - 4e^{-4x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} - 4e^{-4 \cdot 0} = 5e^0 - 4e^0 = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = e^{-x}\operatorname{tg}x$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = \operatorname{tg}x$. Тогда $u'(x) = -e^{-x}$ и $v'(x) = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{-x}\operatorname{tg}x)' = (e^{-x})' \cdot \operatorname{tg}x + e^{-x} \cdot (\operatorname{tg}x)' = -e^{-x}\operatorname{tg}x + e^{-x} \frac{1}{\cos^2x} = e^{-x}(\frac{1}{\cos^2x} - \operatorname{tg}x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = e^{-0}(\frac{1}{\cos^2(0)} - \operatorname{tg}(0)) = 1 \cdot (\frac{1}{1^2} - 0) = 1 \cdot (1 - 0) = 1$.

Ответ: 1

3) Дана функция $f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

Здесь $a = 4$ и $u(x) = x^2 - 3x - 4$. Производная показателя $u'(x) = (x^2 - 3x - 4)' = 2x - 3$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (4^{x^2 - 3x - 4})' = 4^{x^2 - 3x - 4} \cdot \ln 4 \cdot (x^2 - 3x - 4)' = 4^{x^2 - 3x - 4} \cdot \ln 4 \cdot (2x - 3)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 4^{(-1)^2 - 3(-1) - 4} \cdot \ln 4 \cdot (2(-1) - 3) = 4^{1 + 3 - 4} \cdot \ln 4 \cdot (-2 - 3) = 4^0 \cdot \ln 4 \cdot (-5)$.

Так как $4^0 = 1$, получаем:

$f'(-1) = 1 \cdot \ln 4 \cdot (-5) = -5\ln 4$.

Ответ: $-5\ln 4$