Страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.6. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x} + e^{-4x}, x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{-x}\text{tg}x, x_0 = 0$;

3) $f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}, x_0 = -1$.

1) Дана функция $f(x) = e^{5x} + e^{-4x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом дифференцирования сложной функции $(e^{u})' = e^u \cdot u'$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{5x} + e^{-4x})' = (e^{5x})' + (e^{-4x})' = e^{5x} \cdot (5x)' + e^{-4x} \cdot (-4x)' = 5e^{5x} - 4e^{-4x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} - 4e^{-4 \cdot 0} = 5e^0 - 4e^0 = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Дана функция $f(x) = e^{-x}\operatorname{tg}x$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-x}$ и $v(x) = \operatorname{tg}x$. Тогда $u'(x) = -e^{-x}$ и $v'(x) = \frac{1}{\cos^2x}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{-x}\operatorname{tg}x)' = (e^{-x})' \cdot \operatorname{tg}x + e^{-x} \cdot (\operatorname{tg}x)' = -e^{-x}\operatorname{tg}x + e^{-x} \frac{1}{\cos^2x} = e^{-x}(\frac{1}{\cos^2x} - \operatorname{tg}x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = e^{-0}(\frac{1}{\cos^2(0)} - \operatorname{tg}(0)) = 1 \cdot (\frac{1}{1^2} - 0) = 1 \cdot (1 - 0) = 1$.

Ответ: 1

3) Дана функция $f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

Здесь $a = 4$ и $u(x) = x^2 - 3x - 4$. Производная показателя $u'(x) = (x^2 - 3x - 4)' = 2x - 3$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (4^{x^2 - 3x - 4})' = 4^{x^2 - 3x - 4} \cdot \ln 4 \cdot (x^2 - 3x - 4)' = 4^{x^2 - 3x - 4} \cdot \ln 4 \cdot (2x - 3)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 4^{(-1)^2 - 3(-1) - 4} \cdot \ln 4 \cdot (2(-1) - 3) = 4^{1 + 3 - 4} \cdot \ln 4 \cdot (-2 - 3) = 4^0 \cdot \ln 4 \cdot (-5)$.

Так как $4^0 = 1$, получаем:

$f'(-1) = 1 \cdot \ln 4 \cdot (-5) = -5\ln 4$.

Ответ: $-5\ln 4$

8.7. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \frac{1}{6} \ln (-12x)$, $x_0 = -\frac{1}{6}$;

2) $f(x) = \frac{1}{2} x^2 - \ln x^2$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \log_5 (x^2 + 3x - 2)$, $x_0 = -4$;

4) $f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{6}$.
Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, а также формулу производной натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
$f'(x) = \left(\frac{1}{6} \ln(-12x)\right)' = \frac{1}{6} \cdot (\ln(-12x))' = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12x)' = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-12x} \cdot (-12) = \frac{1}{6x}$.
Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{1}{6}$ в выражение для производной:
$f'(x_0) = f'(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6 \cdot (-\frac{1}{6})} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \ln x^2$ и точка $x_0 = 4$.
Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования разности функций.
$f'(x) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \ln x^2\right)' = (\frac{1}{2}x^2)' - (\ln x^2)'$.
Производная первого слагаемого: $(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$.
Производная второго слагаемого (используем правило для сложной функции): $(\ln x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}$.
Таким образом, производная функции: $f'(x) = x - \frac{2}{x}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:
$f'(4) = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

3) Дана функция $f(x) = \log_5(x^2 + 3x - 2)$ и точка $x_0 = -4$.
Для нахождения производной воспользуемся формулой производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
В нашем случае основание $a=5$ и аргумент $u(x) = x^2 + 3x - 2$.
Найдем производную аргумента $u'(x)$: $u'(x) = (x^2 + 3x - 2)' = 2x + 3$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{2x + 3}{(x^2 + 3x - 2) \ln 5}$.
Подставим значение $x_0 = -4$ в полученное выражение:
$f'(-4) = \frac{2(-4) + 3}{((-4)^2 + 3(-4) - 2) \ln 5} = \frac{-8 + 3}{(16 - 12 - 2) \ln 5} = \frac{-5}{2 \ln 5}$.
Ответ: $\frac{-5}{2 \ln 5}$.

4) Дана функция $f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции) и формулой $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
Пусть $u(x) = \sin \frac{x}{2}$. Тогда $f'(x) = \frac{(\sin \frac{x}{2})'}{\sin \frac{x}{2}}$.
Найдем производную от $u(x) = \sin \frac{x}{2}$, снова применив цепное правило:
$(\sin \frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})$.
Теперь подставим это в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{\frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \cot(\frac{x}{2})$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi/2}{2}) = \frac{1}{2} \cot(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

8.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln (6x - 5), x_0 = 3;$

2) $f(x) = 8\ln \frac{x}{2}, x_0 = \frac{1}{2};$

3) $f(x) = \lg (x^2 - 5x + 8), x_0 = 2;$

4) $f(x) = \ln \cos \frac{x}{3}, x_0 = \frac{\pi}{2}.$

1) Дана функция $f(x) = \ln(6x - 5)$ и точка $x_0 = 3$.

Для вычисления значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Пусть $u(x) = 6x - 5$, тогда $f(x) = \ln(u)$. Производная внешней функции $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная внутренней функции $(6x-5)' = 6$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(6x - 5))' = \frac{1}{6x - 5} \cdot (6x - 5)' = \frac{1}{6x - 5} \cdot 6 = \frac{6}{6x - 5}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{6}{6 \cdot 3 - 5} = \frac{6}{18 - 5} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

2) Дана функция $f(x) = 8\ln\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$ по цепному правилу. Константу 8 можно вынести за знак производной.

Пусть $u(x) = \frac{x}{2}$, тогда $f(x) = 8\ln u$. Производная $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (8\ln\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: $16$

3) Дана функция $f(x) = \lg(x^2 - 5x + 8)$ и точка $x_0 = 2$.

Для нахождения производной десятичного логарифма $(\lg u)'$ используем формулу $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$. В данном случае основание $a=10$.

Пусть $u(x) = x^2 - 5x + 8$. Тогда ее производная $u'(x) = (x^2 - 5x + 8)' = 2x - 5$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\lg(x^2 - 5x + 8))' = \frac{(x^2 - 5x + 8)'}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10} = \frac{2x - 5}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 5}{(2^2 - 5 \cdot 2 + 8)\ln 10} = \frac{4 - 5}{(4 - 10 + 8)\ln 10} = \frac{-1}{2\ln 10}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\ln 10}$

4) Дана функция $f(x) = \ln(\cos\frac{x}{3})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной применим цепное правило.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(\cos\frac{x}{3}))' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (\cos\frac{x}{3})' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (-\sin\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{-\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\tan\frac{x}{3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{9}$

8.9. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{2x+1}, x_0 = -1;$

2) $f(x) = x - \ln x, x_0 = 3.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента $k$ имеет вид:

$k = f'(x_0)$

1) Дана функция $f(x) = e^{2x+1}$ и точка $x_0 = -1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = e^u$, а внутренняя $h(x) = 2x+1$.

Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.

Производная внутренней функции: $(2x+1)' = 2$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{2x+1})' = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = e^{2x+1} \cdot 2 = 2e^{2x+1}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = -1$, подставив это значение в полученное выражение:

$k = f'(-1) = 2e^{2(-1)+1} = 2e^{-2+1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$.

Ответ: $\frac{2}{e}$.

2) Дана функция $f(x) = x - \ln x$ и точка $x_0 = 3$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности: $(u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)$.

$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)'$.

Производная от $x$ равна 1, а производная от натурального логарифма $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ имеет вид:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

8.10. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{1-x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \log_5 (x + 2)$, $x_0 = -1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = e^{1-x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, для нахождения ее производной воспользуемся формулой $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

Пусть $u = 1-x$, тогда $u' = (1-x)' = -1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1$

Ответ: $-1$

2) Дана функция $f(x) = \log_5(x+2)$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция. Воспользуемся формулой производной логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$.

В данном случае $a=5$ и $u = x+2$. Производная внутренней функции $u' = (x+2)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\log_5(x+2))' = \frac{1}{(x+2)\ln 5} \cdot (x+2)' = \frac{1}{(x+2)\ln 5} \cdot 1 = \frac{1}{(x+2)\ln 5}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = \frac{1}{(-1+2)\ln 5} = \frac{1}{1 \cdot \ln 5} = \frac{1}{\ln 5}$

Ответ: $\frac{1}{\ln 5}$

8.11. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{-2x}, x_0 = 0;$

2) $f(x) = e^x + \sin x, x_0 = 0;$

3) $f(x) = x \cdot 2^x, x_0 = 1;$

4) $f(x) = 6^{3x+4}, x_0 = -1;$

5) $f(x) = 3x + \ln x, x_0 = 1;$

6) $f(x) = \ln (5 + 4x), x_0 = -1;$

7) $f(x) = \log_3 (2x + 1), x_0 = 1;$

8) $f(x) = 2\ln (x - 2), x_0 = 4.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения каждой задачи мы будем следовать этому алгоритму:

1. Найти значение функции в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти значение производной в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$.
4. Подставить найденные значения $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной и упростить его.

Дана функция $f(x) = e^{-2x}$ и точка $x_0 = 0$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^{-2 \cdot 0} = e^0 = 1$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0} = -2e^0 = -2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2)(x - 0)$

$y = 1 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 1$.

Дана функция $f(x) = e^x + \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (e^x + \sin x)' = e^x + \cos x$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = e^0 + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 1 + 2x$

Ответ: $y = 2x + 1$.

Дана функция $f(x) = x \cdot 2^x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 1 \cdot 2^1 = 2$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cdot 2^x)' = (x)' \cdot 2^x + x \cdot (2^x)' = 1 \cdot 2^x + x \cdot 2^x \ln 2 = 2^x(1 + x \ln 2)$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 2^1(1 + 1 \cdot \ln 2) = 2(1 + \ln 2) = 2 + 2\ln 2$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 2 + (2 + 2\ln 2)(x - 1)$

$y = 2 + (2 + 2\ln 2)x - (2 + 2\ln 2)$

$y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2$

Ответ: $y = (2 + 2\ln 2)x - 2\ln 2$.

Дана функция $f(x) = 6^{3x+4}$ и точка $x_0 = -1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = 6^{3(-1)+4} = 6^{-3+4} = 6^1 = 6$.

2. Находим производную функции, используя правило для сложной функции:

$f'(x) = (6^{3x+4})' = 6^{3x+4} \cdot \ln 6 \cdot (3x+4)' = 3 \cdot 6^{3x+4} \ln 6$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(-1) = 3 \cdot 6^{3(-1)+4} \ln 6 = 3 \cdot 6^1 \ln 6 = 18\ln 6$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 6 + 18\ln 6(x - (-1))$

$y = 6 + 18\ln 6(x + 1)$

$y = 6 + 18x\ln 6 + 18\ln 6$

Ответ: $y = 18x\ln 6 + 18\ln 6 + 6$.

Дана функция $f(x) = 3x + \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 3 \cdot 1 + \ln 1 = 3 + 0 = 3$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (3x + \ln x)' = 3 + \frac{1}{x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 3 + \frac{1}{1} = 4$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 3 + 4(x - 1)$

$y = 3 + 4x - 4$

$y = 4x - 1$

Ответ: $y = 4x - 1$.

Дана функция $f(x) = \ln(5+4x)$ и точка $x_0 = -1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = \ln(5 + 4(-1)) = \ln(5-4) = \ln 1 = 0$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (\ln(5+4x))' = \frac{1}{5+4x} \cdot (5+4x)' = \frac{4}{5+4x}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(-1) = \frac{4}{5+4(-1)} = \frac{4}{1} = 4$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 4(x - (-1))$

$y = 4(x+1)$

$y = 4x + 4$

Ответ: $y = 4x + 4$.

Дана функция $f(x) = \log_3(2x+1)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = \log_3(2 \cdot 1 + 1) = \log_3(3) = 1$.

2. Находим производную функции, используя формулу $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$f'(x) = (\log_3(2x+1))' = \frac{(2x+1)'}{(2x+1)\ln 3} = \frac{2}{(2x+1)\ln 3}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = \frac{2}{(2 \cdot 1+1)\ln 3} = \frac{2}{3\ln 3}$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{2}{3\ln 3}(x - 1)$

$y = 1 + \frac{2x}{3\ln 3} - \frac{2}{3\ln 3}$

$y = \frac{2}{3\ln 3}x + 1 - \frac{2}{3\ln 3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3\ln 3}x + 1 - \frac{2}{3\ln 3}$.

Дана функция $f(x) = 2\ln(x-2)$ и точка $x_0 = 4$.

1. Находим значение функции в точке $x_0$:

$f(4) = 2\ln(4-2) = 2\ln 2$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (2\ln(x-2))' = 2 \cdot \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)' = \frac{2}{x-2}$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$:

$f'(4) = \frac{2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = 2\ln 2 + 1(x - 4)$

$y = 2\ln 2 + x - 4$

$y = x + 2\ln 2 - 4$

Ответ: $y = x + 2\ln 2 - 4$.

8.12. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 2e^x - \cos x$, $x_0 = 0$;

3) $f(x) = 3^{2x-3}$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = 4x - \ln 4$, $x_0 = 1$;

5) $f(x) = \ln (3x - 5)$, $x_0 = 2$;

6) $f(x) = \log_2 (x + 3)$, $x_0 = 1$.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

1) Дана функция $f(x) = e^{5x}$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = e^{5 \cdot 0} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} = 5e^0 = 5$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=5$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 5(x - 0)$

$y = 1 + 5x$

Ответ: $y = 5x + 1$.

2) Дана функция $f(x) = 2e^x - \cos x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(0) = 2e^0 - \cos 0 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2e^x - \cos x)' = 2(e^x)' - (\cos x)' = 2e^x - (-\sin x) = 2e^x + \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(0) = 2e^0 + \sin 0 = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 2(x - 0)$

$y = 1 + 2x$

Ответ: $y = 2x + 1$.

3) Дана функция $f(x) = 3^{2x-3}$ и точка $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = 3^{2 \cdot 2 - 3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)'=a^u \ln a \cdot u'$:

$f'(x) = (3^{2x-3})' = 3^{2x-3} \cdot \ln 3 \cdot (2x-3)' = 3^{2x-3} \cdot \ln 3 \cdot 2 = 2 \ln 3 \cdot 3^{2x-3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = 2 \ln 3 \cdot 3^{2 \cdot 2 - 3} = 2 \ln 3 \cdot 3^1 = 6 \ln 3$.

4. Подставим найденные значения $f(2)=3$ и $f'(2)=6 \ln 3$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 6 \ln 3 (x - 2)$

$y = 3 + (6 \ln 3)x - 12 \ln 3$

Ответ: $y = (6 \ln 3)x + 3 - 12 \ln 3$.

4) Дана функция $f(x) = 4x - \ln 4$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = 4 \cdot 1 - \ln 4 = 4 - \ln 4$.

2. Найдем производную функции (обратите внимание, что $\ln 4$ — это константа):

$f'(x) = (4x - \ln 4)' = (4x)' - (\ln 4)' = 4 - 0 = 4$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = 4$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=4 - \ln 4$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:

$y = (4 - \ln 4) + 4(x - 1)$

$y = 4 - \ln 4 + 4x - 4$

$y = 4x - \ln 4$

Ответ: $y = 4x - \ln 4$.

5) Дана функция $f(x) = \ln(3x-5)$ и точка $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(2) = \ln(3 \cdot 2 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln 1 = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = (\ln(3x-5))' = \frac{1}{3x-5} \cdot (3x-5)' = \frac{3}{3x-5}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(2) = \frac{3}{3 \cdot 2 - 5} = \frac{3}{6-5} = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(2)=0$ и $f'(2)=3$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 3(x - 2)$

$y = 3x - 6$

Ответ: $y = 3x - 6$.

6) Дана функция $f(x) = \log_2(x+3)$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(1) = \log_2(1+3) = \log_2 4 = 2$.

2. Найдем производную функции, используя формулу производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$:

$f'(x) = (\log_2(x+3))' = \frac{(x+3)'}{(x+3) \ln 2} = \frac{1}{(x+3) \ln 2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(1) = \frac{1}{(1+3) \ln 2} = \frac{1}{4 \ln 2}$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=2$ и $f'(1)=\frac{1}{4 \ln 2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{4 \ln 2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{x}{4 \ln 2} - \frac{1}{4 \ln 2}$

$y = \frac{1}{4 \ln 2}x + 2 - \frac{1}{4 \ln 2}$

Ответ: $y = \frac{1}{4 \ln 2}x + 2 - \frac{1}{4 \ln 2}$.

8.13. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^x + e^{-x};$

2) $f(x) = (2^x - 7)(2^x - 9).$

1)

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее уравнение имеет вид $y=c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю. В свою очередь, угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Дана функция: $f(x) = e^x + e^{-x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования показательной функции и сложной функции: $f'(x) = (e^x + e^{-x})' = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x + e^{-x} \cdot (-1) = e^x - e^{-x}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания: $f'(x_0) = 0$ $e^{x_0} - e^{-x_0} = 0$ $e^{x_0} = e^{-x_0}$ $e^{x_0} = \frac{1}{e^{x_0}}$ $(e^{x_0})^2 = 1$ $e^{2x_0} = 1$ Так как $e^0 = 1$, то $2x_0 = 0$, откуда $x_0 = 0$.

Теперь найдем ординату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 0$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0) = f(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$.

Точка касания имеет координаты $(0, 2)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$. Следовательно, уравнение искомой касательной: $y = 2$.

Ответ: $y = 2$.

2)

Действуем аналогично первому пункту. Дана функция: $f(x) = (2^x - 7)(2^x - 9)$.

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки: $f(x) = (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x - 7 \cdot 2^x + 63 = 2^{2x} - 16 \cdot 2^x + 63$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$: $f'(x) = (2^{2x} - 16 \cdot 2^x + 63)' = (2^{2x})' - (16 \cdot 2^x)' + (63)'$ $f'(x) = 2^{2x} \ln(2) \cdot (2x)' - 16 \cdot (2^x \ln(2)) + 0$ $f'(x) = 2^{2x} \ln(2) \cdot 2 - 16 \cdot 2^x \ln(2)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу $x_0$ точки касания: $2 \ln(2) \cdot 2^{2x_0} - 16 \ln(2) \cdot 2^{x_0} = 0$. Вынесем общий множитель $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0}$ за скобки: $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0} (2^{x_0} - 8) = 0$.

Поскольку множитель $2 \ln(2) \cdot 2^{x_0}$ всегда больше нуля, равенство возможно только если выражение в скобках равно нулю: $2^{x_0} - 8 = 0$ $2^{x_0} = 8$ $2^{x_0} = 2^3$ $x_0 = 3$.

Теперь найдем ординату $y_0$ точки касания, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию: $y_0 = f(x_0) = f(3) = (2^3 - 7)(2^3 - 9) = (8 - 7)(8 - 9) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Точка касания имеет координаты $(3, -1)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$. Следовательно, уравнение искомой касательной: $y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

8.14. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x)=(5^x-65)(5^x+15).$

Горизонтальная касательная к графику функции — это прямая, параллельная оси абсцисс, уравнение которой имеет вид $y=c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Дана функция: $f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15)$.

Для упрощения вычислений раскроем скобки в выражении для функции. Можно заметить, что это выражение является квадратным относительно $5^x$.

$f(x) = (5^x)^2 + 15 \cdot 5^x - 65 \cdot 5^x - 65 \cdot 15$

$f(x) = 5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975$

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.

$f'(x) = (5^{2x} - 50 \cdot 5^x - 975)'$

$f'(x) = (5^{2x})' - (50 \cdot 5^x)' - (975)'$

$f'(x) = 5^{2x} \ln(5) \cdot (2x)' - 50 \cdot 5^x \ln(5) - 0$

$f'(x) = 2 \cdot 5^{2x} \ln(5) - 50 \cdot 5^x \ln(5)$

Приравняем производную к нулю для нахождения абсциссы точки касания:

$2 \cdot 5^{2x} \ln(5) - 50 \cdot 5^x \ln(5) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2 \ln(5) \cdot 5^x$:

$2 \ln(5) \cdot 5^x (5^x - 25) = 0$

Поскольку $2 \ln(5) \neq 0$ и $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство выполняется только в том случае, когда выражение в скобках равно нулю:

$5^x - 25 = 0$

$5^x = 25$

$5^x = 5^2$

$x = 2$

Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная к графику функции горизонтальна. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x=2$ в исходное уравнение функции:

$y = f(2) = (5^2 - 65)(5^2 + 15)$

$y = (25 - 65)(25 + 15)$

$y = (-40)(40)$

$y = -1600$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, -1600)$. Уравнение горизонтальной касательной, проходящей через эту точку, имеет вид $y = -1600$.

Ответ: $y = -1600$