Номер 8.8, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Упражнения - номер 8.8, страница 62.

Учебник.

8.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln (6x - 5), x_0 = 3;$

2) $f(x) = 8\ln \frac{x}{2}, x_0 = \frac{1}{2};$

3) $f(x) = \lg (x^2 - 5x + 8), x_0 = 2;$

4) $f(x) = \ln \cos \frac{x}{3}, x_0 = \frac{\pi}{2}.$

Решение.

Решение 2.

1) Дана функция $f(x) = \ln(6x - 5)$ и точка $x_0 = 3$.

Для вычисления значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Пусть $u(x) = 6x - 5$, тогда $f(x) = \ln(u)$. Производная внешней функции $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная внутренней функции $(6x-5)' = 6$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(6x - 5))' = \frac{1}{6x - 5} \cdot (6x - 5)' = \frac{1}{6x - 5} \cdot 6 = \frac{6}{6x - 5}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{6}{6 \cdot 3 - 5} = \frac{6}{18 - 5} = \frac{6}{13}$.

Ответ: $\frac{6}{13}$

2) Дана функция $f(x) = 8\ln\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.

Найдем производную функции $f(x)$ по цепному правилу. Константу 8 можно вынести за знак производной.

Пусть $u(x) = \frac{x}{2}$, тогда $f(x) = 8\ln u$. Производная $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (8\ln\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: $16$

3) Дана функция $f(x) = \lg(x^2 - 5x + 8)$ и точка $x_0 = 2$.

Для нахождения производной десятичного логарифма $(\lg u)'$ используем формулу $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$. В данном случае основание $a=10$.

Пусть $u(x) = x^2 - 5x + 8$. Тогда ее производная $u'(x) = (x^2 - 5x + 8)' = 2x - 5$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\lg(x^2 - 5x + 8))' = \frac{(x^2 - 5x + 8)'}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10} = \frac{2x - 5}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 5}{(2^2 - 5 \cdot 2 + 8)\ln 10} = \frac{4 - 5}{(4 - 10 + 8)\ln 10} = \frac{-1}{2\ln 10}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\ln 10}$

4) Дана функция $f(x) = \ln(\cos\frac{x}{3})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной применим цепное правило.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\ln(\cos\frac{x}{3}))' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (\cos\frac{x}{3})' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (-\sin\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{-\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\tan\frac{x}{3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{9}$