Номер 8.8, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.8, страница 62.
№8.8 (с. 62)
Учебник. №8.8 (с. 62)
скриншот условия

8.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:
1) $f(x) = \ln (6x - 5), x_0 = 3;$
2) $f(x) = 8\ln \frac{x}{2}, x_0 = \frac{1}{2};$
3) $f(x) = \lg (x^2 - 5x + 8), x_0 = 2;$
4) $f(x) = \ln \cos \frac{x}{3}, x_0 = \frac{\pi}{2}.$
Решение. №8.8 (с. 62)

Решение 2. №8.8 (с. 62)
1) Дана функция $f(x) = \ln(6x - 5)$ и точка $x_0 = 3$.
Для вычисления значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Пусть $u(x) = 6x - 5$, тогда $f(x) = \ln(u)$. Производная внешней функции $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная внутренней функции $(6x-5)' = 6$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (\ln(6x - 5))' = \frac{1}{6x - 5} \cdot (6x - 5)' = \frac{1}{6x - 5} \cdot 6 = \frac{6}{6x - 5}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = \frac{6}{6 \cdot 3 - 5} = \frac{6}{18 - 5} = \frac{6}{13}$.
Ответ: $\frac{6}{13}$
2) Дана функция $f(x) = 8\ln\frac{x}{2}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
Найдем производную функции $f(x)$ по цепному правилу. Константу 8 можно вынести за знак производной.
Пусть $u(x) = \frac{x}{2}$, тогда $f(x) = 8\ln u$. Производная $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.
Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (8\ln\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = 8 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$.
Ответ: $16$
3) Дана функция $f(x) = \lg(x^2 - 5x + 8)$ и точка $x_0 = 2$.
Для нахождения производной десятичного логарифма $(\lg u)'$ используем формулу $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$. В данном случае основание $a=10$.
Пусть $u(x) = x^2 - 5x + 8$. Тогда ее производная $u'(x) = (x^2 - 5x + 8)' = 2x - 5$.
Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (\lg(x^2 - 5x + 8))' = \frac{(x^2 - 5x + 8)'}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10} = \frac{2x - 5}{(x^2 - 5x + 8)\ln 10}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 5}{(2^2 - 5 \cdot 2 + 8)\ln 10} = \frac{4 - 5}{(4 - 10 + 8)\ln 10} = \frac{-1}{2\ln 10}$.
Ответ: $-\frac{1}{2\ln 10}$
4) Дана функция $f(x) = \ln(\cos\frac{x}{3})$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
Это сложная функция, для нахождения ее производной применим цепное правило.
Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (\ln(\cos\frac{x}{3}))' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (\cos\frac{x}{3})' = \frac{1}{\cos\frac{x}{3}} \cdot (-\sin\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{-\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\tan\frac{x}{3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}) = -\frac{1}{3}\tan(\frac{\pi}{6})$.
Зная, что $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{9}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.8 расположенного на странице 62 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.8 (с. 62), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.