Номер 8.10, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Упражнения - номер 8.10, страница 62.

Учебник.

8.10. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = e^{1-x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = \log_5 (x + 2)$, $x_0 = -1$.

Решение.

Решение 2.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = e^{1-x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, для нахождения ее производной воспользуемся формулой $(e^u)' = e^u \cdot u'$.

Пусть $u = 1-x$, тогда $u' = (1-x)' = -1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (e^{1-x})' = e^{1-x} \cdot (1-x)' = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = -e^{1-1} = -e^0 = -1$

Ответ: $-1$

2) Дана функция $f(x) = \log_5(x+2)$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция. Воспользуемся формулой производной логарифмической функции $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$.

В данном случае $a=5$ и $u = x+2$. Производная внутренней функции $u' = (x+2)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\log_5(x+2))' = \frac{1}{(x+2)\ln 5} \cdot (x+2)' = \frac{1}{(x+2)\ln 5} \cdot 1 = \frac{1}{(x+2)\ln 5}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$k = f'(-1) = \frac{1}{(-1+2)\ln 5} = \frac{1}{1 \cdot \ln 5} = \frac{1}{\ln 5}$

Ответ: $\frac{1}{\ln 5}$