Номер 8.4, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.4, страница 61.

8.4. Найдите производную функции:

1) $y = \lg x$;

2) $y = \ln (5x - 4)$;

3) $y = \ln^3 x$;

4) $y = \lg \cos x$;

5) $y = \frac{x^5}{\ln x}$;

6) $y = \log_2 (x^2 + 6).$

1) Дана функция $y = \lg x$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$. Для нахождения производной используем стандартную формулу производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае основание $a=10$, поэтому производная равна:
$y' = (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

2) Дана функция $y = \ln(5x - 4)$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применяется цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, её производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.
Внутренняя функция $g(x) = 5x - 4$, её производная $g'(x) = (5x - 4)' = 5$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = 5x - 4$:
$y' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot 5 = \frac{5}{5x - 4}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{5x - 4}$

3) Дана функция $y = \ln^3 x$, что эквивалентно $y = (\ln x)^3$. Это степенная функция, аргументом которой является другая функция, поэтому мы используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = u^3$, её производная $f'(u) = 3u^2$.
Внутренняя функция $g(x) = \ln x$, её производная $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = \ln x$:
$y' = 3(\ln x)^{2} \cdot (\ln x)' = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 \ln^2 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{3 \ln^2 x}{x}$

4) Дана функция $y = \lg \cos x$. Это сложная функция, являющаяся десятичным логарифмом от функции косинуса: $y = \log_{10}(\cos x)$. Применяем цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \log_{10} u$, её производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 10}$.
Внутренняя функция $g(x) = \cos x$, её производная $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = \cos x$:
$y' = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x \cdot \ln 10}$.
Учитывая, что $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, упрощаем выражение:
$y' = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.

Ответ: $y' = -\frac{\tan x}{\ln 10}$

5) Дана функция $y = \frac{x^5}{\ln x}$. Это частное двух функций, поэтому для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = \ln x$.
Находим их производные:
$u'(x) = (x^5)' = 5x^4$.
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем эти выражения в формулу правила частного:
$y' = \frac{(x^5)' \cdot \ln x - x^5 \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{5x^4 \cdot \ln x - x^5 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{5x^4 \ln x - x^4}{\ln^2 x}$.
Для упрощения вынесем общий множитель $x^4$ в числителе за скобки:
$y' = \frac{x^4(5 \ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x^4(5 \ln x - 1)}{\ln^2 x}$

6) Дана функция $y = \log_2(x^2 + 6)$. Это сложная функция. Применяем цепное правило и формулу производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}$.
В данном случае основание $a = 2$ и внутренняя функция $g(x) = x^2 + 6$.
Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^2 + 6)' = 2x$.
Подставляем все в формулу:
$y' = \frac{2x}{(x^2 + 6) \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2+6)\ln 2}$