Номер 2, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Вопросы к параграфу - номер 2, страница 61.

Учебник.

2. Каким свойством обладает касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной $0$?

Решение 2.

Для того чтобы определить свойство касательной к графику экспоненты в точке с абсциссой 0, необходимо найти уравнение этой касательной.

Под "экспонентой" обычно понимают функцию $f(x) = e^x$. Точка на графике, о которой идет речь, имеет абсциссу $x_0 = 0$.

Сначала найдем полную координату точки касания. Ордината $y_0$ равна значению функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(0) = e^0 = 1$.

Таким образом, точка касания — это $(0, 1)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для нахождения этого уравнения нужно вычислить производную функции $f(x)$ и ее значение в точке $x_0$.

Производная экспоненциальной функции $f(x) = e^x$ равна самой функции:

$f'(x) = e^x$.

Значение производной в точке $x_0 = 0$ определяет угловой коэффициент (наклон) касательной:

$k = f'(0) = e^0 = 1$.

Теперь подставим все найденные значения ($x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=1$) в общее уравнение касательной:

$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x + 1$.

Проанализировав полученное уравнение касательной $y = x + 1$, можно сформулировать ее основное свойство. Угловой коэффициент этой прямой равен 1. Это означает, что касательная образует угол $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ радиан) с положительным направлением оси абсцисс (OX), так как тангенс угла наклона прямой равен ее угловому коэффициенту. Также эта касательная параллельна прямой $y=x$ (биссектрисе I и III координатных углов).

Ответ: Касательная к графику экспоненты $y=e^x$ в точке с абсциссой 0 имеет угловой коэффициент, равный 1. Она образует угол $45^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс и имеет уравнение $y = x + 1$.