Номер 7.20, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.20, страница 56.

7.20. Решите неравенство:

1) $ \log_7^2 (7x) - \log_7 x \ge 3; $

2) $ \log_6^2 \frac{x}{216} + 8\log_6 x - 12 \le 0; $

3) $ \frac{\log_3^2 x - 6\log_3 x + 8}{\log_3 x - 1} \ge 0; $

4) $ \log_{0.5} x - 2\log_x 0.5 \le 1. $

1) $ \log_7^2(7x) - \log_7 x \ge 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть положительными.
$ 7x > 0 \implies x > 0 $
$ x > 0 $
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (0, +\infty) $.

Используем свойство логарифма произведения: $ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c $.
$ \log_7(7x) = \log_7 7 + \log_7 x = 1 + \log_7 x $.

Подставим это в исходное неравенство:
$ (1 + \log_7 x)^2 - \log_7 x \ge 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_7 x $.
$ (1 + t)^2 - t \ge 3 $

Решим полученное неравенство относительно $t$:
$ 1 + 2t + t^2 - t \ge 3 $
$ t^2 + t - 2 \ge 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 + t - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -2 $.
Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $ t^2 + t - 2 \ge 0 $ выполняется при $ t \le -2 $ или $ t \ge 1 $.

Выполним обратную замену:
1. $ \log_7 x \le -2 $. Так как основание логарифма $ 7 > 1 $, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $ x \le 7^{-2} \implies x \le \frac{1}{49} $.
2. $ \log_7 x \ge 1 $. Аналогично, $ x \ge 7^1 \implies x \ge 7 $.

Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):
$ 0 < x \le \frac{1}{49} $ и $ x \ge 7 $.

Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{49}] \cup [7, +\infty) $.

---

2) $ \log_6^2 \frac{x}{216} + 8\log_6 x - 12 \le 0 $

ОДЗ: $ x > 0 $ и $ \frac{x}{216} > 0 $. Оба условия сводятся к $ x > 0 $.
ОДЗ: $ x \in (0, +\infty) $.

Используем свойство логарифма частного: $ \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c $.
$ \log_6 \frac{x}{216} = \log_6 x - \log_6 216 $. Поскольку $ 216 = 6^3 $, то $ \log_6 216 = 3 $.
Таким образом, $ \log_6 \frac{x}{216} = \log_6 x - 3 $.

Подставим в неравенство:
$ (\log_6 x - 3)^2 + 8\log_6 x - 12 \le 0 $

Сделаем замену $ t = \log_6 x $:
$ (t - 3)^2 + 8t - 12 \le 0 $

Решим неравенство относительно $t$:
$ t^2 - 6t + 9 + 8t - 12 \le 0 $
$ t^2 + 2t - 3 \le 0 $

Найдем корни уравнения $ t^2 + 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -3 $.
Парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $ t^2 + 2t - 3 \le 0 $ выполняется между корнями: $ -3 \le t \le 1 $.

Выполним обратную замену:
$ -3 \le \log_6 x \le 1 $.
Так как основание логарифма $ 6 > 1 $, функция возрастающая:
$ 6^{-3} \le x \le 6^1 $
$ \frac{1}{216} \le x \le 6 $.

Это решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $ x \in [\frac{1}{216}, 6] $.

---

3) $ \frac{\log_3^2 x - 6\log_3 x + 8}{\log_3 x - 1} \ge 0 $

ОДЗ: $ x > 0 $ и знаменатель не равен нулю $ \log_3 x - 1 \neq 0 \implies \log_3 x \neq 1 \implies x \neq 3 $.
ОДЗ: $ x \in (0, 3) \cup (3, +\infty) $.

Сделаем замену $ t = \log_3 x $:
$ \frac{t^2 - 6t + 8}{t - 1} \ge 0 $

Решим это рациональное неравенство методом интервалов.
Найдем корни числителя: $ t^2 - 6t + 8 = 0 \implies t_1 = 2, t_2 = 4 $.
Найдем корень знаменателя: $ t - 1 = 0 \implies t_3 = 1 $.

Неравенство можно переписать в виде: $ \frac{(t-2)(t-4)}{t-1} \ge 0 $.
Наносим точки $1, 2, 4$ на числовую ось и определяем знаки на интервалах. Точки $2, 4$ закрашенные, точка $1$ выколотая.
Интервалы, где выражение неотрицательно: $ (1, 2] \cup [4, +\infty) $.

Выполним обратную замену:
1. $ 1 < \log_3 x \le 2 $. Так как основание $ 3 > 1 $: $ 3^1 < x \le 3^2 \implies 3 < x \le 9 $.
2. $ \log_3 x \ge 4 $. Аналогично: $ x \ge 3^4 \implies x \ge 81 $.

Оба интервала удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x \in (3, 9] \cup [81, +\infty) $.

---

4) $ \log_{0.5} x - 2\log_x 0.5 \le 1 $

ОДЗ: аргумент логарифма $ x > 0 $, основание логарифма $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.
ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.

Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $.
$ \log_x 0.5 = \frac{1}{\log_{0.5} x} $.

Подставим в неравенство:
$ \log_{0.5} x - \frac{2}{\log_{0.5} x} \le 1 $

Сделаем замену $ t = \log_{0.5} x $:
$ t - \frac{2}{t} \le 1 $

Решим неравенство относительно $t$:
$ t - \frac{2}{t} - 1 \le 0 $
$ \frac{t^2 - t - 2}{t} \le 0 $

Решим методом интервалов. Корни числителя $ t^2 - t - 2 = 0 $: $ t_1 = 2, t_2 = -1 $. Корень знаменателя: $ t_3 = 0 $.
Неравенство в виде $ \frac{(t-2)(t+1)}{t} \le 0 $.
Наносим точки $-1, 0, 2$ на числовую ось. Точки $-1, 2$ закрашенные, точка $0$ выколотая.
Интервалы, где выражение неположительно: $ (-\infty, -1] \cup (0, 2] $.

Выполним обратную замену. Учитываем, что основание логарифма $ 0.5 < 1 $, поэтому логарифмическая функция убывающая и при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
1. $ \log_{0.5} x \le -1 \implies x \ge (0.5)^{-1} \implies x \ge 2 $.
2. $ 0 < \log_{0.5} x \le 2 $. Это двойное неравенство:
$ \log_{0.5} x > 0 \implies x < (0.5)^0 \implies x < 1 $.
$ \log_{0.5} x \le 2 \implies x \ge (0.5)^2 \implies x \ge 0.25 $.
Объединяя, получаем $ 0.25 \le x < 1 $.

Объединяем полученные решения, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x \in [0.25, 1) \cup [2, +\infty) $.