Номер 7.17, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.17, страница 56.

7.17. Решите неравенство:

1) $\log_{0.2}^2 x \le 1;$

2) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x \ge 4;$

3) $\lg^2 x + 3\lg x - 4 < 0;$

4) $\log_{\frac{1}{4}}^2 x + 2\log_{\frac{1}{4}} x - 8 \le 0;$

5) $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 \ge 0;$

6) $2\log_{\frac{1}{9}}^2 x - 5\log_{\frac{1}{9}} x + 2 \ge 0.$

1) $\log_{0.2}^2 x \le 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{0.2} x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 \le 1$

$t^2 - 1 \le 0$

$(t-1)(t+1) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $t \in [-1; 1]$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$-1 \le \log_{0.2} x \le 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \log_{0.2} x \le 1 \\ \log_{0.2} x \ge -1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, то при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\begin{cases} x \ge 0.2^1 \\ x \le 0.2^{-1} \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 0.2 \\ x \le 5 \end{cases}$

Получаем $0.2 \le x \le 5$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $[0.2; 5]$

2) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x \ge 4$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{3}} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 \ge 4$

$t^2 - 4 \ge 0$

$(t-2)(t+2) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $t \le -2$ и $t \ge 2$.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств:

$\log_{\frac{1}{3}} x \le -2$ или $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется:

$x \ge (\frac{1}{3})^{-2}$ или $x \le (\frac{1}{3})^2$

$x \ge 9$ или $x \le \frac{1}{9}$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два промежутка: $0 < x \le \frac{1}{9}$ и $x \ge 9$.

Ответ: $(0; \frac{1}{9}] \cup [9; +\infty)$

3) $\lg^2 x + 3\lg x - 4 < 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + 3t - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = -4$.

$(t+4)(t-1) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал $-4 < t < 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$-4 < \lg x < 1$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$10^{-4} < x < 10^1$

$0.0001 < x < 10$

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(0.0001; 10)$

4) $\log_{\frac{1}{4}}^2 x + 2\log_{\frac{1}{4}} x - 8 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{4}} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 + 2t - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = -4$.

$(t+4)(t-2) \le 0$

Решением является отрезок $-4 \le t \le 2$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$-4 \le \log_{\frac{1}{4}} x \le 2$

Так как основание логарифма $\frac{1}{4} < 1$, знаки неравенств меняются:

$(\frac{1}{4})^2 \le x \le (\frac{1}{4})^{-4}$

$\frac{1}{16} \le x \le 4^4$

$\frac{1}{16} \le x \le 256$

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[\frac{1}{16}; 256]$

5) $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

$(t-2)(t-3) \ge 0$

Решением является объединение промежутков $t \le 2$ и $t \ge 3$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\log_2 x \le 2$ или $\log_2 x \ge 3$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x \le 2^2$ или $x \ge 2^3$

$x \le 4$ или $x \ge 8$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le 4$ или $x \ge 8$.

Ответ: $(0; 4] \cup [8; +\infty)$

6) $2\log_{\frac{1}{9}}^2 x - 5\log_{\frac{1}{9}} x + 2 \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_{\frac{1}{9}} x$. Неравенство примет вид:

$2t^2 - 5t + 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Корни $t_1 = 2$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

$2(t - \frac{1}{2})(t - 2) \ge 0$

Решением является объединение промежутков $t \le \frac{1}{2}$ и $t \ge 2$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\log_{\frac{1}{9}} x \le \frac{1}{2}$ или $\log_{\frac{1}{9}} x \ge 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{9} < 1$, знаки неравенств меняются:

$x \ge (\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}}$ или $x \le (\frac{1}{9})^2$

$x \ge \sqrt{\frac{1}{9}}$ или $x \le \frac{1}{81}$

$x \ge \frac{1}{3}$ или $x \le \frac{1}{81}$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x \le \frac{1}{81}$ или $x \ge \frac{1}{3}$.

Ответ: $(0; \frac{1}{81}] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$