Номер 7.16, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.16, страница 56.

7.16. Решите неравенство:

1) $\log_2 (-x) + \log_2 (1 - x) \le 1;$

2) $\log_{0,2} (x - 1) + \log_{0,2} (x + 3) \ge -1;$

3) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x - 10) \ge 2;$

4) $\log_7 x + \log_7 (3x - 8) \ge 1 + 2\log_7 2.$

1) $\log_2(-x) + \log_2(1-x) \le 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} -x > 0 \\ 1-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x < 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2((-x)(1-x)) \le 1$
$\log_2(x^2 - x) \le 1$
Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2(x^2 - x) \le \log_2 2$
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - x \le 2$
$x^2 - x - 2 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 2]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-1; 2] \\ x \in (-\infty; 0) \end{cases} \Rightarrow x \in [-1; 0)$.
Ответ: $x \in [-1; 0)$.

2) $\log_{0,2}(x-1) + \log_{0,2}(x+3) \ge -1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-1 > 0 \\ x+3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -3 \end{cases}$
Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Преобразуем неравенство:
$\log_{0,2}((x-1)(x+3)) \ge -1$
$\log_{0,2}(x^2 + 2x - 3) \ge -1$
Представим -1 в виде логарифма по основанию 0,2: $-1 = \log_{0,2}(0,2^{-1}) = \log_{0,2}(5)$.
$\log_{0,2}(x^2 + 2x - 3) \ge \log_{0,2}(5)$
Так как основание логарифма $0,2 < 1$, функция логарифма убывающая, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 2x - 3 \le 5$
$x^2 + 2x - 8 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Решение неравенства $x^2 + 2x - 8 \le 0$ есть отрезок $x \in [-4; 2]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-4; 2] \\ x \in (1; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (1; 2]$.
Ответ: $x \in (1; 2]$.

3) $\log_3(x-2) + \log_3(x-10) \ge 2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x-10 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 10 \end{cases}$
Пересечением является $x > 10$. ОДЗ: $x \in (10; +\infty)$.

Преобразуем неравенство:
$\log_3((x-2)(x-10)) \ge 2$
$\log_3(x^2 - 12x + 20) \ge 2$
Представим 2 в виде логарифма по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3(9)$.
$\log_3(x^2 - 12x + 20) \ge \log_3(9)$
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 12x + 20 \ge 9$
$x^2 - 12x + 11 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 12x + 11 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 11$.
Парабола $y = x^2 - 12x + 11$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - 12x + 11 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty; 1] \cup [11; +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1] \cup [11; +\infty) \\ x \in (10; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in [11; +\infty)$.
Ответ: $x \in [11; +\infty)$.

4) $\log_7 x + \log_7(3x-8) \ge 1 + 2\log_7 2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 3x-8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 8/3 \end{cases}$
Пересечением является $x > 8/3$. ОДЗ: $x \in (8/3; +\infty)$.

Преобразуем левую и правую части неравенства:
Левая часть: $\log_7(x(3x-8)) = \log_7(3x^2 - 8x)$.
Правая часть: $1 + 2\log_7 2 = \log_7 7 + \log_7(2^2) = \log_7 7 + \log_7 4 = \log_7(7 \cdot 4) = \log_7 28$.
Неравенство принимает вид:
$\log_7(3x^2 - 8x) \ge \log_7 28$
Основание $7 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$3x^2 - 8x \ge 28$
$3x^2 - 8x - 28 \ge 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 28 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 64 + 336 = 400 = 20^2$.
$x_1 = \frac{8 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$x_2 = \frac{8 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$
Решение неравенства $3x^2 - 8x - 28 \ge 0$ есть объединение $x \in (-\infty; -2] \cup [14/3; +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [14/3; +\infty) \\ x \in (8/3; +\infty) \end{cases}$
Сравним $14/3$ и $8/3$: так как $14 > 8$, то $14/3 > 8/3$.
Пересечением является $x \in [14/3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [14/3; +\infty)$.