Номер 7.23, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.23, страница 57.

7.23. Найдите производную функции:

1) $y = (x - 1)\sqrt[3]{x}$;

2) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 1}$;

3) $y = \sqrt{2 - 5x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x-1)\sqrt[3]{x}$ можно использовать правило производной произведения, но удобнее сначала упростить выражение. Представим корень в виде степени и раскроем скобки:

$y = (x-1)x^{1/3} = x \cdot x^{1/3} - 1 \cdot x^{1/3} = x^{1+\frac{1}{3}} - x^{1/3} = x^{4/3} - x^{1/3}$

Теперь найдем производную как производную разности, используя формулу для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$y' = (x^{4/3} - x^{1/3})' = (x^{4/3})' - (x^{1/3})'$

$y' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{1/3} - \frac{1}{3}x^{-2/3}$

Упростим полученное выражение, приведя его к общему знаменателю и записав степени в виде корней:

$y' = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2} - 1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x^3} - 1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4x - 1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{4x-1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае числитель $u = x-1$ и знаменатель $v = x^2+1$.

Найдем их производные:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x^2+1)' = 2x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x^2+1 - (2x^2 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

3) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{2-5x}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Представим функцию в виде $y = (2-5x)^{1/2}$.

Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя функция $g(x) = 2-5x$.

Найдем их производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2-5x)' = -5$.

Теперь применим цепное правило, подставляя $u = 2-5x$:

$y' = (\sqrt{2-5x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (2-5x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (-5)$

Упростим полученное выражение:

$y' = -\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$

Ответ: $y' = -\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$