Номер 7.25, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.25, страница 57.

7.25. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции

$y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Для нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ необходимо исследовать ее производную.

1. Нахождение области определения. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 1 \ge 1$), поэтому область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Производная определена на всей числовой оси.

$y' = 0 \implies \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю:

$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определение знака производной. Знак производной $y'$ зависит только от знака числителя $1 - x^2$, так как знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда положителен.

• На интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x=-2$): $1 - (-2)^2 = -3 < 0$, значит $y' < 0$.

• На интервале $(-1; 1)$ (например, при $x=0$): $1 - 0^2 = 1 > 0$, значит $y' > 0$.

• На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $1 - 2^2 = -3 < 0$, значит $y' < 0$.

Теперь определим промежутки монотонности и экстремумы.

Промежутки возрастания

Функция возрастает, когда ее производная положительна, т.е. $y' > 0$. Это происходит на интервале $(-1, 1)$. Поскольку функция непрерывна во всех точках, включая $x=-1$ и $x=1$, эти точки можно включить в промежуток возрастания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$.

Промежутки убывания

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, т.е. $y' < 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$. Включаем концы промежутков из-за непрерывности функции.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty]$.

Экстремумы функции

Экстремумы находятся в критических точках, где производная меняет знак.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: точка минимума $(-1, -1/2)$; точка максимума $(1, 1/2)$.