Номер 7.24, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.24, страница 57.

7.24. На графике функции $y = x^3 - 2x^2$ найдите точки, в которых касательная к графику параллельна прямой $y = -x + 11$.

Для того чтобы касательная к графику функции была параллельна заданной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $y = -x + 11$. Это уравнение прямой вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, $k = -1$.

2. Найдем производную функции $y = x^3 - 2x^2$.

$y' = (x^3 - 2x^2)' = 3x^2 - 4x$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту $k = -1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания.

$y'(x_0) = -1$

$3x_0^2 - 4x_0 = -1$

$3x_0^2 - 4x_0 + 1 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Мы нашли абсциссы двух точек, в которых касательная параллельна данной прямой.

5. Найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x^3 - 2x^2$.

Для $x_1 = \frac{1}{3}$:

$y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} = -\frac{5}{27}$.

Таким образом, первая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{27}\right)$.

Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 1^3 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, -1)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{27}\right)$, $(1, -1)$.