Номер 8.2, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 8.2, страница 61.

8.2. Найдите производную функции:

1) $y = x^{\pi}$;

2) $y = e^{-2x}$;

3) $y = x^6 e^x$;

4) $y = e^x \cos x$;

5) $y = \frac{x+1}{e^x}$;

6) $y = 6^x$;

7) $y = 3^{4x+1}$;

8) $y = (2x+1)^{\sqrt{10}}$;

9) $y = 10^{-x}$;

10) $y = \frac{5^x+2}{5^x-1}$;

11) $y = 0,7^{\operatorname{ctg} x}$.

1) Дана функция $y = x^\pi$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель степени $n = \pi$ является константой. Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$y' = (x^\pi)' = \pi x^{\pi - 1}$.

Ответ: $y' = \pi x^{\pi - 1}$.

2) Дана функция $y = e^{-2x}$. Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и формулой производной показательной функции $(e^u)' = e^u$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = -2x$, тогда внешняя функция $y = e^u$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (-2x)' = -2$.

Теперь находим производную исходной функции:

$y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$.

Ответ: $y' = -2e^{-2x}$.

3) Дана функция $y = x^6 e^x$. Это произведение двух функций: $u(x) = x^6$ и $v(x) = e^x$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$.

$v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^6)'e^x + x^6(e^x)' = 6x^5 e^x + x^6 e^x$.

Для упрощения можно вынести общий множитель $x^5 e^x$ за скобки: $y' = x^5 e^x(6 + x)$.

Ответ: $y' = 6x^5 e^x + x^6 e^x$.

4) Дана функция $y = e^x \cos x$. Это произведение двух функций: $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$.

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x)'\cos x + e^x(\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

5) Дана функция $y = \frac{x+1}{e^x}$. Это частное двух функций: $u(x) = x+1$ и $v(x) = e^x$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x+1)' = 1$.

$v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x+1)'e^x - (x+1)(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - (x+1)e^x}{(e^x)^2}$.

Упрощаем выражение:

$y' = \frac{e^x - xe^x - e^x}{e^{2x}} = \frac{-xe^x}{e^{2x}} = -\frac{x}{e^x} = -xe^{-x}$.

Ответ: $y' = -\frac{x}{e^x}$.

6) Дана функция $y = 6^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$.

Производная показательной функции находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.

В данном случае $a=6$, поэтому:

$y' = (6^x)' = 6^x \ln 6$.

Ответ: $y' = 6^x \ln 6$.

7) Дана функция $y = 3^{4x+1}$. Это сложная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=3$ и $u(x) = 4x+1$.

Используем цепное правило и формулу производной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (4x+1)' = 4$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot (4x+1)' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3$.

Ответ: $y' = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3$.

8) Дана функция $y = (2x+1)^{\sqrt{10}}$. Это сложная степенная функция вида $y = u^n$, где $u(x)=2x+1$ и $n=\sqrt{10}$.

Используем цепное правило и формулу производной степенной функции: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (2x+1)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1} \cdot (2x+1)' = \sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1} \cdot 2 = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$.

Ответ: $y' = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$.

9) Дана функция $y = 10^{-x}$. Это сложная показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=10$ и $u(x) = -x$.

Используем цепное правило: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (-x)' = -1$.

Подставляем в формулу:

$y' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-x)' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x} \ln 10$.

Ответ: $y' = -10^{-x} \ln 10$.

10) Дана функция $y = \frac{5^x + 2}{5^x - 1}$. Это частное двух функций: $u(x) = 5^x + 2$ и $v(x) = 5^x - 1$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (5^x + 2)' = 5^x \ln 5$.

$v'(x) = (5^x - 1)' = 5^x \ln 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(5^x \ln 5)(5^x - 1) - (5^x + 2)(5^x \ln 5)}{(5^x - 1)^2}$.

Выносим общий множитель $5^x \ln 5$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{5^x \ln 5 ((5^x - 1) - (5^x + 2))}{(5^x - 1)^2} = \frac{5^x \ln 5 (5^x - 1 - 5^x - 2)}{(5^x - 1)^2}$.

Упрощаем выражение в скобках:

$y' = \frac{5^x \ln 5 (-3)}{(5^x - 1)^2} = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2}$.

11) Дана функция $y = 0.7^{\cot x}$. Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=0.7$ и $u(x) = \cot x$.

Используем цепное правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = 0.7^{\cot x} \ln(0.7) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{0.7^{\cot x} \ln(0.7)}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{0.7^{\cot x} \ln(0.7)}{\sin^2 x}$.