Номер 4, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 8. Производные показательной и логарифмической функции. Вопросы к параграфу - номер 4, страница 61.

Учебник.

4. По какой формуле находят производную: 1) показательной функции; 2) логарифмической функции; 3) степенной функции?

Решение 2.

1) показательной функции

Показательная функция – это функция вида $y = a^x$, где $a$ является постоянным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), и называется основанием степени, а $x$ – переменная, которая является показателем степени.

Производная показательной функции с основанием $a$ находится по следующей формуле:

$(a^x)' = a^x \ln a$

Здесь $\ln a$ – это натуральный логарифм основания $a$. Эта формула показывает, что производная показательной функции пропорциональна самой функции с коэффициентом пропорциональности, равным натуральному логарифму основания.

Особо важным частным случаем является экспоненциальная функция, где основанием служит число Эйлера $e \approx 2.718...$. Производная этой функции равна самой функции:

$(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$