Номер 1, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 8. Производные показательной и логарифмической функции. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1, страница 61.

1. Как обозначают и называют показательную функцию, производная которой равна самой функции?

1.

Для ответа на этот вопрос необходимо найти показательную функцию $y(x)$, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению $y' = y$.

Общий вид показательной функции — это $y = a^x$, где $a$ является основанием степени ($a > 0$, $a \neq 1$), а $x$ — переменная.

Производная показательной функции $y = a^x$ вычисляется по формуле:

$(a^x)' = a^x \ln a$

где $\ln a$ — натуральный логарифм основания $a$.

Согласно условию, производная функции должна быть равна самой функции:

$(a^x)' = a^x$

Приравняем два выражения для производной:

$a^x \ln a = a^x$

Поскольку показательная функция $a^x$ никогда не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a^x$:

$\ln a = 1$

Из определения натурального логарифма следует, что если $\ln a = 1$, то основание $a$ должно быть равно числу Эйлера $e$.

$a = e$

Число $e$ — это иррациональная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$.

Таким образом, единственной показательной функцией, производная которой равна самой функции, является функция с основанием $e$.

Эту функцию называют экспонентой.

Обозначают её как $y = e^x$ или, что то же самое, $y = \exp(x)$.

Проверим: $(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$. Условие выполняется.

Ответ: Такая функция называется экспонента и обозначается как $y = e^x$ или $y = \exp(x)$.