Страница 61 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как обозначают и называют показательную функцию, производная которой равна самой функции?

1.

Для ответа на этот вопрос необходимо найти показательную функцию $y(x)$, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению $y' = y$.

Общий вид показательной функции — это $y = a^x$, где $a$ является основанием степени ($a > 0$, $a \neq 1$), а $x$ — переменная.

Производная показательной функции $y = a^x$ вычисляется по формуле:

$(a^x)' = a^x \ln a$

где $\ln a$ — натуральный логарифм основания $a$.

Согласно условию, производная функции должна быть равна самой функции:

$(a^x)' = a^x$

Приравняем два выражения для производной:

$a^x \ln a = a^x$

Поскольку показательная функция $a^x$ никогда не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a^x$:

$\ln a = 1$

Из определения натурального логарифма следует, что если $\ln a = 1$, то основание $a$ должно быть равно числу Эйлера $e$.

$a = e$

Число $e$ — это иррациональная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$.

Таким образом, единственной показательной функцией, производная которой равна самой функции, является функция с основанием $e$.

Эту функцию называют экспонентой.

Обозначают её как $y = e^x$ или, что то же самое, $y = \exp(x)$.

Проверим: $(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$. Условие выполняется.

Ответ: Такая функция называется экспонента и обозначается как $y = e^x$ или $y = \exp(x)$.

2. Каким свойством обладает касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной $0$?

Для того чтобы определить свойство касательной к графику экспоненты в точке с абсциссой 0, необходимо найти уравнение этой касательной.

Под "экспонентой" обычно понимают функцию $f(x) = e^x$. Точка на графике, о которой идет речь, имеет абсциссу $x_0 = 0$.

Сначала найдем полную координату точки касания. Ордината $y_0$ равна значению функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(0) = e^0 = 1$.

Таким образом, точка касания — это $(0, 1)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для нахождения этого уравнения нужно вычислить производную функции $f(x)$ и ее значение в точке $x_0$.

Производная экспоненциальной функции $f(x) = e^x$ равна самой функции:

$f'(x) = e^x$.

Значение производной в точке $x_0 = 0$ определяет угловой коэффициент (наклон) касательной:

$k = f'(0) = e^0 = 1$.

Теперь подставим все найденные значения ($x_0=0$, $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=1$) в общее уравнение касательной:

$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = x + 1$.

Проанализировав полученное уравнение касательной $y = x + 1$, можно сформулировать ее основное свойство. Угловой коэффициент этой прямой равен 1. Это означает, что касательная образует угол $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ радиан) с положительным направлением оси абсцисс (OX), так как тангенс угла наклона прямой равен ее угловому коэффициенту. Также эта касательная параллельна прямой $y=x$ (биссектрисе I и III координатных углов).

Ответ: Касательная к графику экспоненты $y=e^x$ в точке с абсциссой 0 имеет угловой коэффициент, равный 1. Она образует угол $45^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс и имеет уравнение $y = x + 1$.

3. Как называют логарифм, основание которого равно $e$?

Логарифм, основание которого равно числу $e$, называется натуральным логарифмом.

Число $e$, также известное как число Эйлера, является фундаментальной математической константой. Это иррациональное число, и его значение приблизительно равно $2.71828$. Из-за его особой важности в математическом анализе и других науках, логарифм по этому основанию получил собственное название и обозначение.

Стандартное обозначение логарифма по основанию $e$ от числа $x$ — это $\log_e x$. Однако для удобства и краткости введена специальная форма записи:

Таким образом, равенство $y = \ln x$ полностью эквивалентно равенству $y = \log_e x$, которое, по определению логарифма, означает, что $e^y = x$.

Например:

• $\ln e = 1$, так как $e^1 = e$.
• $\ln 1 = 0$, так как $e^0 = 1$.
• $\ln(e^2) = 2$, так как $e^2 = e^2$.

Натуральные логарифмы широко применяются для описания различных процессов в физике (например, радиоактивный распад), биологии (рост популяций), экономике (сложные проценты) и многих других областях.

Ответ: Натуральный логарифм.

4. По какой формуле находят производную: 1) показательной функции; 2) логарифмической функции; 3) степенной функции?

1) показательной функции

Показательная функция – это функция вида $y = a^x$, где $a$ является постоянным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), и называется основанием степени, а $x$ – переменная, которая является показателем степени.

Производная показательной функции с основанием $a$ находится по следующей формуле:

$(a^x)' = a^x \ln a$

Здесь $\ln a$ – это натуральный логарифм основания $a$. Эта формула показывает, что производная показательной функции пропорциональна самой функции с коэффициентом пропорциональности, равным натуральному логарифму основания.

Особо важным частным случаем является экспоненциальная функция, где основанием служит число Эйлера $e \approx 2.718...$. Производная этой функции равна самой функции:

$(e^x)' = e^x \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$

8.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^{\sqrt{5}}$;

2) $y = 4e^x$;

3) $y = e^{5x}$;

4) $y = x^3 e^x$;

5) $y = x^{\sqrt{3}} e^x$;

6) $y = e^x \sin x$;

7) $y = \frac{e^x}{x - 2}$;

8) $y = e^x + e^{-x}$;

9) $y = 5^x$;

10) $y = 2^{x^2}$;

11) $y = 7^{2x - 3}$;

12) $y = x \cdot 3^x$;

13) $y = \frac{2^x - 3}{2^x + 1}$;

14) $y = 0,3^{\operatorname{tg} x}$.

1) Дана функция $y = x^{\sqrt{5}}$. Это степенная функция вида $y = x^n$.

Для нахождения производной используем формулу производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В нашем случае $n = \sqrt{5}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5} \cdot x^{\sqrt{5}-1}$.

Ответ: $y' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$.

2) Дана функция $y = 4e^x$.

Используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и формулу производной экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

В данном случае константа $c = 4$.

$y' = (4e^x)' = 4 \cdot (e^x)' = 4e^x$.

Ответ: $y' = 4e^x$.

3) Дана функция $y = e^{5x}$. Это сложная функция.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $g(x) = 5x$.

Находим их производные: $f'(u) = (e^u)' = e^u$ и $g'(x) = (5x)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x}$.

Ответ: $y' = 5e^{5x}$.

4) Дана функция $y = x^3e^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = e^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$.

Для упрощения вынесем общий множитель $x^2e^x$ за скобки: $y' = x^2e^x(3+x)$.

Ответ: $y' = x^2e^x(3+x)$.

5) Дана функция $y = x^{\sqrt{3}}e^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{\sqrt{3}}$ и $v(x) = e^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^{\sqrt{3}})'e^x + x^{\sqrt{3}}(e^x)' = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1} \cdot e^x + x^{\sqrt{3}} \cdot e^x$.

Для упрощения вынесем общий множитель $x^{\sqrt{3}-1}e^x$ за скобки: $y' = x^{\sqrt{3}-1}e^x(\sqrt{3}+x)$.

Ответ: $y' = x^{\sqrt{3}-1}e^x(\sqrt{3}+x)$.

6) Дана функция $y = e^x \sin x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x)'\sin x + e^x(\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.

Вынесем общий множитель $e^x$: $y' = e^x(\sin x + \cos x)$.

Ответ: $y' = e^x(\sin x + \cos x)$.

7) Дана функция $y = \frac{e^x}{x-2}$. Это частное двух функций.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x-2$.

Находим их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x-2)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(e^x)'(x-2) - e^x(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{e^x(x-2) - e^x \cdot 1}{(x-2)^2}$.

Упрощаем числитель: $e^x(x-2) - e^x = e^x x - 2e^x - e^x = e^x x - 3e^x = e^x(x-3)$.

$y' = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$.

8) Дана функция $y = e^x + e^{-x}$.

Используем правило дифференцирования суммы $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Производная первого слагаемого: $(e^x)' = e^x$.

Производная второго слагаемого $e^{-x}$ находится по цепному правилу: $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-x)' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$.

Складываем производные:

$y' = (e^x)' + (e^{-x})' = e^x - e^{-x}$.

Ответ: $y' = e^x - e^{-x}$.

9) Дана функция $y = 5^x$. Это показательная функция.

Используем формулу производной показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$.

В нашем случае $a = 5$.

$y' = (5^x)' = 5^x \ln 5$.

Ответ: $y' = 5^x \ln 5$.

10) Дана функция $y = 2^{x^2}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 2^u$, внутренняя функция $g(x) = x^2$.

Находим их производные: $f'(u) = (2^u)' = 2^u \ln 2$ и $g'(x) = (x^2)' = 2x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (2^{x^2})' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot (x^2)' = 2^{x^2} \ln 2 \cdot 2x$.

$y' = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$.

Ответ: $y' = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$.

11) Дана функция $y = 7^{2x-3}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 7^u$, внутренняя функция $g(x) = 2x-3$.

Находим их производные: $f'(u) = (7^u)' = 7^u \ln 7$ и $g'(x) = (2x-3)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = (7^{2x-3})' = 7^{2x-3} \ln 7 \cdot (2x-3)' = 7^{2x-3} \ln 7 \cdot 2$.

$y' = 2 \cdot 7^{2x-3} \ln 7$.

Ответ: $y' = 2 \cdot 7^{2x-3} \ln 7$.

12) Дана функция $y = x \cdot 3^x$. Это произведение двух функций.

Используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 3^x$.

Находим их производные: $u'(x) = (x)' = 1$ и $v'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x)' \cdot 3^x + x \cdot (3^x)' = 1 \cdot 3^x + x \cdot 3^x \ln 3$.

Вынесем общий множитель $3^x$: $y' = 3^x(1 + x \ln 3)$.

Ответ: $y' = 3^x(1 + x \ln 3)$.

13) Дана функция $y = \frac{2^x - 3}{2^x + 1}$. Это частное двух функций.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2^x - 3$ и $v(x) = 2^x + 1$.

Находим их производные: $u'(x) = (2^x - 3)' = 2^x \ln 2$ и $v'(x) = (2^x + 1)' = 2^x \ln 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2^x \ln 2)(2^x + 1) - (2^x - 3)(2^x \ln 2)}{(2^x + 1)^2}$.

Вынесем в числителе общий множитель $2^x \ln 2$ за скобки:

$y' = \frac{2^x \ln 2 ((2^x + 1) - (2^x - 3))}{(2^x + 1)^2} = \frac{2^x \ln 2 (2^x + 1 - 2^x + 3)}{(2^x + 1)^2}$.

Упрощаем выражение в скобках: $y' = \frac{2^x \ln 2 \cdot 4}{(2^x + 1)^2} = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4 \cdot 2^x \ln 2}{(2^x + 1)^2}$.

14) Дана функция $y = 0.3^{\operatorname{tg} x}$. Это сложная функция.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = 0.3^u$, внутренняя функция $g(x) = \operatorname{tg} x$.

Находим их производные: $f'(u) = (0.3^u)' = 0.3^u \ln(0.3)$ и $g'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (0.3^{\operatorname{tg} x})' = 0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3) \cdot (\operatorname{tg} x)' = 0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.

$y' = \frac{0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3)}{\cos^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{0.3^{\operatorname{tg} x} \ln(0.3)}{\cos^2 x}$.

8.2. Найдите производную функции:

1) $y = x^{\pi}$;

2) $y = e^{-2x}$;

3) $y = x^6 e^x$;

4) $y = e^x \cos x$;

5) $y = \frac{x+1}{e^x}$;

6) $y = 6^x$;

7) $y = 3^{4x+1}$;

8) $y = (2x+1)^{\sqrt{10}}$;

9) $y = 10^{-x}$;

10) $y = \frac{5^x+2}{5^x-1}$;

11) $y = 0,7^{\operatorname{ctg} x}$.

1) Дана функция $y = x^\pi$. Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель степени $n = \pi$ является константой. Производная степенной функции находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$y' = (x^\pi)' = \pi x^{\pi - 1}$.

Ответ: $y' = \pi x^{\pi - 1}$.

2) Дана функция $y = e^{-2x}$. Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и формулой производной показательной функции $(e^u)' = e^u$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = -2x$, тогда внешняя функция $y = e^u$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (-2x)' = -2$.

Теперь находим производную исходной функции:

$y' = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$.

Ответ: $y' = -2e^{-2x}$.

3) Дана функция $y = x^6 e^x$. Это произведение двух функций: $u(x) = x^6$ и $v(x) = e^x$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u'(x) = (x^6)' = 6x^5$.

$v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (x^6)'e^x + x^6(e^x)' = 6x^5 e^x + x^6 e^x$.

Для упрощения можно вынести общий множитель $x^5 e^x$ за скобки: $y' = x^5 e^x(6 + x)$.

Ответ: $y' = 6x^5 e^x + x^6 e^x$.

4) Дана функция $y = e^x \cos x$. Это произведение двух функций: $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные сомножителей:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$.

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = (e^x)'\cos x + e^x(\cos x)' = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

5) Дана функция $y = \frac{x+1}{e^x}$. Это частное двух функций: $u(x) = x+1$ и $v(x) = e^x$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x+1)' = 1$.

$v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x+1)'e^x - (x+1)(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - (x+1)e^x}{(e^x)^2}$.

Упрощаем выражение:

$y' = \frac{e^x - xe^x - e^x}{e^{2x}} = \frac{-xe^x}{e^{2x}} = -\frac{x}{e^x} = -xe^{-x}$.

Ответ: $y' = -\frac{x}{e^x}$.

6) Дана функция $y = 6^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$.

Производная показательной функции находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.

В данном случае $a=6$, поэтому:

$y' = (6^x)' = 6^x \ln 6$.

Ответ: $y' = 6^x \ln 6$.

7) Дана функция $y = 3^{4x+1}$. Это сложная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=3$ и $u(x) = 4x+1$.

Используем цепное правило и формулу производной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (4x+1)' = 4$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot (4x+1)' = 3^{4x+1} \ln 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3$.

Ответ: $y' = 4 \cdot 3^{4x+1} \ln 3$.

8) Дана функция $y = (2x+1)^{\sqrt{10}}$. Это сложная степенная функция вида $y = u^n$, где $u(x)=2x+1$ и $n=\sqrt{10}$.

Используем цепное правило и формулу производной степенной функции: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (2x+1)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1} \cdot (2x+1)' = \sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1} \cdot 2 = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$.

Ответ: $y' = 2\sqrt{10}(2x+1)^{\sqrt{10}-1}$.

9) Дана функция $y = 10^{-x}$. Это сложная показательная функция вида $y = a^{u(x)}$, где $a=10$ и $u(x) = -x$.

Используем цепное правило: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (-x)' = -1$.

Подставляем в формулу:

$y' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-x)' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x} \ln 10$.

Ответ: $y' = -10^{-x} \ln 10$.

10) Дана функция $y = \frac{5^x + 2}{5^x - 1}$. Это частное двух функций: $u(x) = 5^x + 2$ и $v(x) = 5^x - 1$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (5^x + 2)' = 5^x \ln 5$.

$v'(x) = (5^x - 1)' = 5^x \ln 5$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(5^x \ln 5)(5^x - 1) - (5^x + 2)(5^x \ln 5)}{(5^x - 1)^2}$.

Выносим общий множитель $5^x \ln 5$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{5^x \ln 5 ((5^x - 1) - (5^x + 2))}{(5^x - 1)^2} = \frac{5^x \ln 5 (5^x - 1 - 5^x - 2)}{(5^x - 1)^2}$.

Упрощаем выражение в скобках:

$y' = \frac{5^x \ln 5 (-3)}{(5^x - 1)^2} = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3 \cdot 5^x \ln 5}{(5^x - 1)^2}$.

11) Дана функция $y = 0.7^{\cot x}$. Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=0.7$ и $u(x) = \cot x$.

Используем цепное правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = 0.7^{\cot x} \ln(0.7) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{0.7^{\cot x} \ln(0.7)}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{0.7^{\cot x} \ln(0.7)}{\sin^2 x}$.

8.3. Найдите производную функции:

1) $y = \log_9 x;$

2) $y = \ln 2x;$

3) $y = \lg (x^2 - 4);$

4) $y = \ln^2 x;$

5) $y = \ln \sin x;$

6) $y = \frac{\ln x}{x^3};$

7) $y = \log_{0,2} (2x^2 + x - 4);$

8) $y = \ln (1 - 0,2x);$

9) $y = x^5 \ln x.$

1) Дана функция $y = \log_9 x$. Для нахождения производной логарифмической функции вида $y = \log_a x$ используется формула $y' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае, основание логарифма $a = 9$. Подставляя это значение в формулу, получаем производную:
$y' = (\log_9 x)' = \frac{1}{x \ln 9}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 9}$.

2) Дана функция $y = \ln 2x$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применяется цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \ln u$ с производной $f'(u) = \frac{1}{u}$, и внутренняя функция $g(x) = 2x$ с производной $g'(x) = 2$.
$y' = (\ln(2x))' = \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
В качестве альтернативы можно было сначала использовать свойство логарифма: $y = \ln 2 + \ln x$. Тогда производная суммы равна сумме производных: $y' = (\ln 2)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Дана функция $y = \lg(x^2 - 4)$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Это сложная функция. Используем формулу производной сложной логарифмической функции $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.
Здесь $a = 10$, $u(x) = x^2 - 4$, и производная $u'(x) = 2x$.
$y' = (\lg(x^2 - 4))' = \frac{(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4) \ln 10} = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$.
Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4) \ln 10}$.

4) Дана функция $y = \ln^2 x$. Эту запись следует понимать как $y = (\ln x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $f(u) = u^2$, а внутренняя — $u(x) = \ln x$. Применяем цепное правило и формулу производной степенной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
$y' = ((\ln x)^2)' = 2(\ln x)^{2-1} \cdot (\ln x)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \ln x}{x}$.

5) Дана функция $y = \ln \sin x$. Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $u(x) = \sin x$. Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$. Применяем цепное правило:
$y' = (\ln(\sin x))' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$.
Ответ: $y' = \cot x$.

6) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x^3}$. Для нахождения производной используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^3$. Их производные: $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 3x^2$.
$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x^3 - \ln x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - (\ln x) \cdot (3x^2)}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6}$.
Упростим выражение, вынеся общий множитель $x^2$ в числителе и сократив дробь:
$y' = \frac{x^2(1 - 3 \ln x)}{x^6} = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}$.

7) Дана функция $y = \log_{0.2}(2x^2 + x - 4)$. Это сложная логарифмическая функция. Используем формулу $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.
Здесь основание $a = 0.2$, функция под логарифмом $u(x) = 2x^2 + x - 4$. Её производная $u'(x) = 4x + 1$.
$y' = \frac{(2x^2 + x - 4)'}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2} = \frac{4x + 1}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2}$.
Ответ: $y' = \frac{4x + 1}{(2x^2 + x - 4) \ln 0.2}$.

8) Дана функция $y = \ln(1 - 0.2x)$. Это сложная функция. Применяем цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \ln u$, внутренняя $u(x) = 1 - 0.2x$. Производная внутренней функции $u'(x) = -0.2$.
$y' = (\ln(1 - 0.2x))' = \frac{1}{1 - 0.2x} \cdot (1 - 0.2x)' = \frac{1}{1 - 0.2x} \cdot (-0.2) = \frac{-0.2}{1 - 0.2x}$.
Для упрощения выражения можно умножить числитель и знаменатель на 5:
$y' = \frac{-0.2 \cdot 5}{(1 - 0.2x) \cdot 5} = \frac{-1}{5 - x} = \frac{1}{x - 5}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x - 5}$.

9) Дана функция $y = x^5 \ln x$. Для нахождения производной используется правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u(x) = x^5$ и $v(x) = \ln x$. Их производные: $u'(x) = 5x^4$ и $v'(x) = \frac{1}{x}$.
$y' = (x^5)' \cdot \ln x + x^5 \cdot (\ln x)' = 5x^4 \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4 \ln x + x^4$.
Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$y' = x^4(5 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x^4(5 \ln x + 1)$.

8.4. Найдите производную функции:

1) $y = \lg x$;

2) $y = \ln (5x - 4)$;

3) $y = \ln^3 x$;

4) $y = \lg \cos x$;

5) $y = \frac{x^5}{\ln x}$;

6) $y = \log_2 (x^2 + 6).$

1) Дана функция $y = \lg x$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$. Для нахождения производной используем стандартную формулу производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае основание $a=10$, поэтому производная равна:
$y' = (\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 10}$

2) Дана функция $y = \ln(5x - 4)$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применяется цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, её производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.
Внутренняя функция $g(x) = 5x - 4$, её производная $g'(x) = (5x - 4)' = 5$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = 5x - 4$:
$y' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot 5 = \frac{5}{5x - 4}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{5x - 4}$

3) Дана функция $y = \ln^3 x$, что эквивалентно $y = (\ln x)^3$. Это степенная функция, аргументом которой является другая функция, поэтому мы используем цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = u^3$, её производная $f'(u) = 3u^2$.
Внутренняя функция $g(x) = \ln x$, её производная $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = \ln x$:
$y' = 3(\ln x)^{2} \cdot (\ln x)' = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 \ln^2 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{3 \ln^2 x}{x}$

4) Дана функция $y = \lg \cos x$. Это сложная функция, являющаяся десятичным логарифмом от функции косинуса: $y = \log_{10}(\cos x)$. Применяем цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \log_{10} u$, её производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 10}$.
Внутренняя функция $g(x) = \cos x$, её производная $g'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Применяем правило, подставляя $u = g(x) = \cos x$:
$y' = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x \cdot \ln 10}$.
Учитывая, что $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, упрощаем выражение:
$y' = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.

Ответ: $y' = -\frac{\tan x}{\ln 10}$

5) Дана функция $y = \frac{x^5}{\ln x}$. Это частное двух функций, поэтому для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = \ln x$.
Находим их производные:
$u'(x) = (x^5)' = 5x^4$.
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем эти выражения в формулу правила частного:
$y' = \frac{(x^5)' \cdot \ln x - x^5 \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{5x^4 \cdot \ln x - x^5 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{5x^4 \ln x - x^4}{\ln^2 x}$.
Для упрощения вынесем общий множитель $x^4$ в числителе за скобки:
$y' = \frac{x^4(5 \ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x^4(5 \ln x - 1)}{\ln^2 x}$

6) Дана функция $y = \log_2(x^2 + 6)$. Это сложная функция. Применяем цепное правило и формулу производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x) \ln a}$.
В данном случае основание $a = 2$ и внутренняя функция $g(x) = x^2 + 6$.
Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^2 + 6)' = 2x$.
Подставляем все в формулу:
$y' = \frac{2x}{(x^2 + 6) \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2+6)\ln 2}$

8.5. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{3x} - 3x$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{-2x} \cos 2x$, $x_0 = 0$;

3) $f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}$, $x_0 = 1$.

1) Дана функция $f(x) = e^{3x} - 3x$ и точка $x_0 = 0$.

Для вычисления значения производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности функций и правило производной сложной функции для слагаемого $e^{3x}$.

$f'(x) = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' - (3x)'$

Производная от $e^{3x}$ находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Производная от $3x$ равна $3$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 3e^{3x} - 3$

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} - 3 = 3e^0 - 3$

Так как любое число в нулевой степени равно 1, $e^0 = 1$.

$f'(0) = 3 \cdot 1 - 3 = 3 - 3 = 0$

Ответ: $0$

2) Дана функция $f(x) = e^{-2x} \cos 2x$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{-2x}$ и $v(x) = \cos 2x$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по отдельности, используя правило дифференцирования сложной функции:

$u'(x) = (e^{-2x})' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = -2e^{-2x}$

$v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2\sin 2x$

Теперь применим правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = (-2e^{-2x}) \cdot \cos 2x + e^{-2x} \cdot (-2\sin 2x)$

$f'(x) = -2e^{-2x} \cos 2x - 2e^{-2x} \sin 2x$

Можно вынести общий множитель $-2e^{-2x}$ за скобки:

$f'(x) = -2e^{-2x}(\cos 2x + \sin 2x)$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = -2e^{-2 \cdot 0}(\cos(2 \cdot 0) + \sin(2 \cdot 0)) = -2e^0(\cos 0 + \sin 0)$

Используя известные значения $e^0 = 1$, $\cos 0 = 1$ и $\sin 0 = 0$, получаем:

$f'(0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2$

Ответ: $-2$

3) Дана функция $f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}$ и точка $x_0 = 1$.

Это показательная функция, ее производная находится по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае основание $a=3$, а показатель степени (сложная функция) $u(x) = 3x - 4x^2 + 2$.

Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$:

$u'(x) = (3x - 4x^2 + 2)' = 3 - 8x$

Теперь подставим все в формулу производной показательной функции:

$f'(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2} \cdot \ln 3 \cdot (3 - 8x)$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 3^{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1^2 + 2} \cdot \ln 3 \cdot (3 - 8 \cdot 1)$

Посчитаем значение в показателе степени: $3 - 4 + 2 = 1$.

Посчитаем значение в скобках: $3 - 8 = -5$.

Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$f'(1) = 3^1 \cdot \ln 3 \cdot (-5) = -15 \ln 3$

Ответ: $-15 \ln 3$