Страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.2. Решите неравенство:

1) $lg x < lg 4;$

2) $\log_{5/6} x > \log_{5/6} \frac{6}{7};$

3) $\log_{12} (x - 8) > \log_{12} 3;$

4) $\log_{16} (4x - 6) < \log_{16} 10;$

5) $\log_{8/11} (2 - x) < \log_{8/11} 2;$

6) $\log_{0,9} (2x + 1) > \log_{0,9} 5.$

1) Дано неравенство $\lg x < \lg 4$.
Это логарифмическое неравенство с основанием $a = 10$. Так как основание $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для аргументов логарифмов сохраняется тот же знак неравенства.
Кроме того, необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
Таким образом, решение неравенства сводится к решению системы:
$ \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем $0 < x < 4$.
Ответ: $x \in (0; 4)$.

2) Дано неравенство $\log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \frac{6}{7}$.
Основание логарифма $a = \frac{5}{6}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} x < \frac{6}{7} \\ x > 0 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(0; \frac{6}{7})$.
Ответ: $x \in (0; \frac{6}{7})$.

3) Дано неравенство $\log_{12} (x - 8) > \log_{12} 3$.
Основание логарифма $a = 12$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, то есть $x - 8 > 0$, откуда $x > 8$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 8 > 3 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 11 \\ x > 8 \end{cases} $
Пересечением этих двух условий является $x > 11$.
Ответ: $x \in (11; +\infty)$.

4) Дано неравенство $\log_{16} (4x - 6) < \log_{16} 10$.
Основание логарифма $a = 16$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $4x - 6 > 0 \Rightarrow 4x > 6 \Rightarrow x > \frac{6}{4} \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x - 6 < 10 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x < 16 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1.5 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(1.5; 4)$.
Ответ: $x \in (1.5; 4)$.

5) Дано неравенство $\log_{\frac{8}{11}} (2 - x) < \log_{\frac{8}{11}} 2$.
Основание логарифма $a = \frac{8}{11}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - x > 2 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -x > 0 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 2 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

6) Дано неравенство $\log_{0.9} (2x + 1) > \log_{0.9} 5$.
Основание логарифма $a = 0.9$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x + 1 < 5 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x < 4 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -0.5 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(-0.5; 2)$.
Ответ: $x \in (-0.5; 2)$.

7.3. Решите неравенство:

1) $\log_7 x > 2;$

2) $\log_5 x \le -1;$

3) $\log_{\frac{1}{2}} x \le 5;$

4) $\log_{\frac{1}{3}} x > 1;$

5) $\log_2 (5x + 1) > 4;$

6) $\log_{0,6} (x - 2) < 2;$

7) $\log_3 (2x - 1) \le 3;$

8) $\log_7 (9x + 4) \le 2;$

9) $\log_{0,5} (2x + 1) \ge -2;$

10) $\log_{0,2} (x + 6) \ge -1.$

1) $\log_7 x > 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 7: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.

Получаем неравенство: $\log_7 x > \log_7 49$.

Так как основание логарифма $7 > 1$, функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 49$.

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением является $x > 49$.

Ответ: $x \in (49; +\infty)$.

2) $\log_5 x \le -1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $-1 = \log_5 5^{-1} = \log_5 \frac{1}{5}$.

Получаем: $\log_5 x \le \log_5 \frac{1}{5}$.

Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x \le \frac{1}{5}$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{5} \end{cases}$, что дает $0 < x \le \frac{1}{5}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{5}]$.

3) $\log_{\frac{1}{2}} x \le 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $5 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^5 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$.

Получаем: $\log_{\frac{1}{2}} x \le \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$.

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{1}{32}$.

Совмещаем с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением является $x \ge \frac{1}{32}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{32}; +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{3}} x > 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть: $1 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^1 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Получаем: $\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется:

$x < \frac{1}{3}$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ x < \frac{1}{3} \end{cases}$, что дает $0 < x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{3})$.

5) $\log_2 (5x + 1) > 4$

ОДЗ: $5x + 1 > 0 \implies 5x > -1 \implies x > -\frac{1}{5}$.

Представим правую часть: $4 = \log_2 2^4 = \log_2 16$.

Получаем: $\log_2 (5x + 1) > \log_2 16$.

Основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется:

$5x + 1 > 16 \implies 5x > 15 \implies x > 3$.

Совмещаем с ОДЗ ($x > -0.2$). Пересечением является $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

6) $\log_{0.6} (x - 2) < 2$

ОДЗ: $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

Представим правую часть: $2 = \log_{0.6} (0.6)^2 = \log_{0.6} 0.36$.

Получаем: $\log_{0.6} (x - 2) < \log_{0.6} 0.36$.

Основание $0 < 0.6 < 1$, функция убывающая, знак меняется:

$x - 2 > 0.36 \implies x > 2.36$.

Совмещаем с ОДЗ ($x > 2$). Пересечением является $x > 2.36$.

Ответ: $x \in (2.36; +\infty)$.

7) $\log_3 (2x - 1) \le 3$

ОДЗ: $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5$.

Представим правую часть: $3 = \log_3 3^3 = \log_3 27$.

Получаем: $\log_3 (2x - 1) \le \log_3 27$.

Основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется:

$2x - 1 \le 27 \implies 2x \le 28 \implies x \le 14$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > 0.5 \\ x \le 14 \end{cases}$, что дает $0.5 < x \le 14$.

Ответ: $x \in (0.5; 14]$.

8) $\log_7 (9x + 4) \le 2$

ОДЗ: $9x + 4 > 0 \implies 9x > -4 \implies x > -\frac{4}{9}$.

Представим правую часть: $2 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.

Получаем: $\log_7 (9x + 4) \le \log_7 49$.

Основание $7 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется:

$9x + 4 \le 49 \implies 9x \le 45 \implies x \le 5$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > -\frac{4}{9} \\ x \le 5 \end{cases}$, что дает $-\frac{4}{9} < x \le 5$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{9}; 5]$.

9) $\log_{0.5} (2x + 1) \ge -2$

ОДЗ: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

Представим правую часть: $-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-2} = \log_{0.5} 4$.

Получаем: $\log_{0.5} (2x + 1) \ge \log_{0.5} 4$.

Основание $0 < 0.5 < 1$, функция убывающая, знак меняется:

$2x + 1 \le 4 \implies 2x \le 3 \implies x \le 1.5$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > -0.5 \\ x \le 1.5 \end{cases}$, что дает $-0.5 < x \le 1.5$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1.5]$.

10) $\log_{0.2} (x + 6) \ge -1$

ОДЗ: $x + 6 > 0 \implies x > -6$.

Представим правую часть: $-1 = \log_{0.2} (0.2)^{-1} = \log_{0.2} (\frac{1}{5})^{-1} = \log_{0.2} 5$.

Получаем: $\log_{0.2} (x + 6) \ge \log_{0.2} 5$.

Основание $0 < 0.2 < 1$, функция убывающая, знак меняется:

$x + 6 \le 5 \implies x \le -1$.

Совмещаем с ОДЗ: $\begin{cases} x > -6 \\ x \le -1 \end{cases}$, что дает $-6 < x \le -1$.

Ответ: $x \in (-6; -1]$.

7.4. Решите неравенство:

1) $\log_{\frac{1}{7}} x < -1;$

2) $\log_4 x > 2;$

3) $\lg x < 5;$

4) $\log_{\frac{1}{6}} x > -3;$

5) $\log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge -2;$

6) $\log_9 (5x + 6) \le 2.$

1) $ \log_{\frac{1}{7}} x < -1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При решении неравенства это означает, что знак неравенства нужно будет изменить на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:

$ -1 = \log_{\frac{1}{7}} ((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}} 7 $

Исходное неравенство можно переписать так:

$ \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 7 $

Поскольку основание меньше 1, переходим к неравенству для аргументов, меняя знак:

$ x > 7 $

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением условий $x > 7$ и $x > 0$ является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

2) $ \log_{4} x > 2 $

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = 4$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при решении неравенства знак сохраняется.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 4:

$ 2 = \log_{4} (4^2) = \log_{4} 16 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{4} x > \log_{4} 16 $

Поскольку основание больше 1, переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$ x > 16 $

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение $x > 16$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

3) $ \lg x < 5 $

Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$ 5 = \log_{10} (10^5) = \log_{10} 100000 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{10} x < \log_{10} 100000 $

Переходим к аргументам, сохраняя знак:

$ x < 100000 $

Совмещаем с ОДЗ: $0 < x < 100000$.

Ответ: $x \in (0; 100000)$.

4) $ \log_{\frac{1}{6}} x > -3 $

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$ -3 = \log_{\frac{1}{6}} ((\frac{1}{6})^{-3}) = \log_{\frac{1}{6}} (6^3) = \log_{\frac{1}{6}} 216 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 216 $

Переходим к аргументам, меняя знак:

$ x < 216 $

Совмещаем с ОДЗ ($x > 0$): $0 < x < 216$.

Ответ: $x \in (0; 216)$.

5) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge -2 $

ОДЗ: $2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2}$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$ -2 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Переходим к аргументам, меняя знак:

$ 2x - 3 \le 9 $

$ 2x \le 12 $

$ x \le 6 $

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > \frac{3}{2}$). Получаем систему:

$ \begin{cases} x \le 6 \\ x > 1.5 \end{cases} $

Решением является интервал $1.5 < x \le 6$.

Ответ: $x \in (1.5; 6]$.

6) $ \log_{9} (5x + 6) \le 2 $

ОДЗ: $5x + 6 > 0 \implies 5x > -6 \implies x > -\frac{6}{5}$, то есть $x > -1.2$.

Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 9:

$ 2 = \log_{9} (9^2) = \log_{9} 81 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{9} (5x + 6) \le \log_{9} 81 $

Переходим к аргументам, сохраняя знак:

$ 5x + 6 \le 81 $

$ 5x \le 75 $

$ x \le 15 $

Совмещаем с ОДЗ ($x > -1.2$). Получаем систему:

$ \begin{cases} x \le 15 \\ x > -1.2 \end{cases} $

Решением является интервал $-1.2 < x \le 15$.

Ответ: $x \in (-1.2; 15]$.

7.5. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $\log_{0,25} (3x - 5) > -3;$

2) $\log_3 (7 - x) < 3?$

1) $\log_{0,25}(3x - 5) > -3$
Решим данное логарифмическое неравенство.
Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$3x - 5 > 0$
$3x > 5$
$x > \frac{5}{3}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,25:
$-3 = \log_{0,25}((0,25)^{-3})$
Вычислим значение $(0,25)^{-3}$:
$(0,25)^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$
Неравенство принимает вид:
$\log_{0,25}(3x - 5) > \log_{0,25}(64)$

Так как основание логарифма $a = 0,25$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$3x - 5 < 64$
$3x < 69$
$x < 23$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему неравенств:
$\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < 23 \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{5}{3} < x < 23$, или, в другом виде, $1\frac{2}{3} < x < 23$.

Теперь найдем все целые решения в этом интервале. Это целые числа, начиная с 2 и заканчивая 22.
Целые решения: $2, 3, 4, \dots, 21, 22$.
Количество целых решений равно: $22 - 2 + 1 = 21$.
Ответ: 21

2) $\log_3(7 - x) < 3$
Решим второе логарифмическое неравенство.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$7 - x > 0$
$x < 7$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:
$3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$
Неравенство принимает вид:
$\log_3(7 - x) < \log_3(27)$

Так как основание логарифма $a = 3$ и $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$7 - x < 27$
$-x < 27 - 7$
$-x < 20$
$x > -20$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x < 7 \\ x > -20 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-20 < x < 7$.

Найдем все целые решения в данном интервале. Это целые числа, начиная с -19 и заканчивая 6.
Целые решения: $-19, -18, \dots, 5, 6$.
Количество целых решений равно: $6 - (-19) + 1 = 6 + 19 + 1 = 26$.
Ответ: 26

7.6. Найдите целые решения неравенства:

1) $\log_{0,5} (1 - x) > -1$;

2) $\log_{36} (x + 1) \le 0,5$.

1) $\log_{0,5}(1-x) > -1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$1 - x > 0$

$1 > x$

$x < 1$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{0,5}(2)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5}(1-x) > \log_{0,5}(2)$

Так как основание логарифма $0,5$ меньше 1 ($0 < 0,5 < 1$), то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1 - x < 2$

$-x < 2 - 1$

$-x < 1$

$x > -1$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Это означает, что $x$ находится в интервале $(-1; 1)$.

Нам нужно найти целые решения. Единственное целое число, которое удовлетворяет неравенству $-1 < x < 1$, это $0$.

Ответ: 0

2) $\log_{36}(x+1) \le 0,5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 36:

$0,5 = \log_{36}(36^{0,5}) = \log_{36}(\sqrt{36}) = \log_{36}(6)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{36}(x+1) \le \log_{36}(6)$

Так как основание логарифма $36$ больше 1, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x + 1 \le 6$

$x \le 6 - 1$

$x \le 5$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

Это означает, что $x$ находится в полуинтервале $(-1; 5]$.

Нам нужно найти целые решения. Целые числа, которые удовлетворяют неравенству $-1 < x \le 5$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5

7.7. Найдите множество решений неравенства:

1) $lg (2x + 3) > lg (x - 1)$

2) $log_5 2x < log_5 (x + 1)$

3) $log_{0,2} (2x - 1) > log_{0,2} (3x - 4)$

4) $log_{0,4} (x^2 - 3) < log_{0,4} (x + 3)$

5) $log_{0,7} (x^2 - 2x - 3) \le log_{0,7} (9 - x)$

6) $log_{\frac{1}{3}} (x^2 + x + 31) \le log_{\frac{1}{3}} (10x + 11)$

1) Решим неравенство $\lg(2x + 3) > \lg(x - 1)$.

Основание десятичного логарифма $a=10 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов логарифмов знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительны. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 3 > x - 1 \\ 2x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x - x > -1 - 3 \Rightarrow x > -4$.

2) $2x > -3 \Rightarrow x > -1.5$.

3) $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $x > -4$, $x > -1.5$ и $x > 1$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является $x > 1$.

Таким образом, множество решений неравенства — это интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_{5}(2x) < \log_{5}(x + 1)$.

Основание логарифма $a=5 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x < x + 1 \\ 2x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $2x - x < 1 \Rightarrow x < 1$.

2) $x > 0$.

3) $x > -1$.

Пересечение решений $x < 1$, $x > 0$ и $x > -1$ дает интервал $0 < x < 1$.

Ответ: $(0; 1)$.

3) Решим неравенство $\log_{0.2}(2x - 1) > \log_{0.2}(3x - 4)$.

Основание логарифма $a=0.2$, так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 1 < 3x - 4 \\ 2x - 1 > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $-1 + 4 < 3x - 2x \Rightarrow 3 < x$.

2) $2x > 1 \Rightarrow x > 0.5$.

3) $3x > 4 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$.

Найдем пересечение решений $x > 3$, $x > 0.5$ и $x > \frac{4}{3}$. Общим решением, удовлетворяющим всем трем условиям, является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.4}(x^2 - 3) < \log_{0.4}(x + 3)$.

Основание логарифма $a=0.4$, так как $0 < 0.4 < 1$, функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 3 > x + 3 \\ x^2 - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 3, x_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

2) $x^2 - 3 > 0 \Rightarrow x^2 > 3 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

3) $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.

Найдем пересечение всех трех условий. Сначала объединим условия ОДЗ (2 и 3): $x \in (-3; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Теперь пересечем полученное множество с решением основного неравенства (1):

Пересечение $(-3; -\sqrt{3})$ с $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ дает $(-3; -2)$.

Пересечение $(\sqrt{3}; +\infty)$ с $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ дает $(3; +\infty)$.

Итоговое решение — объединение этих двух интервалов.

Ответ: $(-3; -2) \cup (3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\log_{0.7}(x^2 - 2x - 3) \le \log_{0.7}(9 - x)$.

Основание логарифма $a=0.7$, так как $0 < 0.7 < 1$, функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \ge 9 - x \\ x^2 - 2x - 3 > 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - x - 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = -3$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

2) $x^2 - 2x - 3 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3, x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

3) $9 - x > 0 \Rightarrow x < 9$.

Найдем пересечение решений. Сначала найдем ОДЗ, пересекая (2) и (3): $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 9)$.

Теперь пересечем ОДЗ с решением основного неравенства (1):

Пересечение $(-\infty; -1)$ с $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$ дает $(-\infty; -3]$.

Пересечение $(3; 9)$ с $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$ дает $[4; 9)$.

Объединяем полученные множества.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; 9)$.

6) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + x + 31) \le \log_{\frac{1}{3}}(10x + 11)$.

Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + x + 31 \ge 10x + 11 \\ x^2 + x + 31 > 0 \\ 10x + 11 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $x^2 - 9x + 20 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$: $x_1 = 4, x_2 = 5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$.

2) $x^2 + x + 31 > 0$. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 1 - 124 = -123$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $x^2 + x + 31$ всегда положительно. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

3) $10x + 11 > 0 \Rightarrow 10x > -11 \Rightarrow x > -1.1$.

Найдем пересечение решений: $x > -1.1$ и $x \in (-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-1.1; +\infty)$ с множеством $(-\infty; 4] \cup [5; +\infty)$ дает $(-1.1; 4] \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $(-1,1; 4] \cup [5; +\infty)$.

7.8. Решите неравенство:

1) $\log_2 (2x - 3) < \log_2 (x + 1);$

2) $\log_{0,6} (3 - 2x) > \log_{0,6} (5x - 2);$

3) $\lg (x^2 - 2) \ge \lg (4x + 3);$

4) $\log_{0,1} (10 - 2x) \ge \log_{0,1} (x^2 - x - 2).$

1) $\log_{2}(2x - 3) < \log_{2}(x + 1)$

Основание логарифма $a=2 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где оба подлогарифмических выражения строго больше нуля.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < x + 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1,5$

2) $x + 1 > 0 \implies x > -1$

3) $2x - 3 < x + 1 \implies 2x - x < 1 + 3 \implies x < 4$

Теперь найдем пересечение всех решений: $x > 1,5$, $x > -1$ и $x < 4$. Общим решением является интервал $1,5 < x < 4$.

Ответ: $(1,5; 4)$

2) $\log_{0,6}(3 - 2x) > \log_{0,6}(5x - 2)$

Основание логарифма $a=0,6$, где $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ 5x - 2 > 0 \\ 3 - 2x < 5x - 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3 - 2x > 0 \implies 3 > 2x \implies x < 1,5$

2) $5x - 2 > 0 \implies 5x > 2 \implies x > 0,4$

3) $3 - 2x < 5x - 2 \implies 3 + 2 < 5x + 2x \implies 5 < 7x \implies x > \frac{5}{7}$

Найдем пересечение решений: $x < 1,5$, $x > 0,4$ и $x > \frac{5}{7}$. Так как $\frac{5}{7} \approx 0,714$, то условие $x > 0,4$ поглощается условием $x > \frac{5}{7}$. Общее решение: $\frac{5}{7} < x < 1,5$.

Ответ: $(\frac{5}{7}; 1,5)$

3) $\lg(x^2 - 2) \geq \lg(4x + 3)$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание $a=10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2 > 0 \\ 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 2 \geq 4x + 3 \end{cases}$

Решим неравенства для ОДЗ:

1) $x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

2) $4x + 3 > 0 \implies 4x > -3 \implies x > -0,75$

Пересечение условий ОДЗ $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ и $x > -0,75$ дает $x > \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1,414 > -0,75$).

Теперь решим основное неравенство:

3) $x^2 - 2 \geq 4x + 3 \implies x^2 - 4x - 5 \geq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 4x - 5 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

Найдем пересечение решения основного неравенства с ОДЗ ($x > \sqrt{2}$):

Пересекая $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$ с $(\sqrt{2}; +\infty)$, получаем $x \geq 5$.

Ответ: $[5; +\infty)$

4) $\log_{0,1}(10 - 2x) \geq \log_{0,1}(x^2 - x - 2)$

Основание логарифма $a=0,1$, где $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 10 - 2x > 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \\ 10 - 2x \leq x^2 - x - 2 \end{cases}$

Решим неравенства для ОДЗ:

1) $10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies x < 5$

2) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x_1=2, x_2=-1$. Ветви параболы вверх, значит неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение ОДЗ ($x < 5$ и $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$) дает $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 5)$.

Решим основное неравенство:

3) $10 - 2x \leq x^2 - x - 2 \implies 0 \leq x^2 + x - 12$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Ветви параболы вверх, значит неравенство $x^2 + x - 12 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 5)$:

Для интервала $(-\infty; -1)$: пересечение с $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ дает $(-\infty; -4]$.

Для интервала $(2; 5)$: пересечение с $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ дает $[3; 5)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [3; 5)$

7.9. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\log_{\frac{1}{4}}(x+1) > -\frac{3}{2};$

2) $\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2;$

3) $\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1;$

4) $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1).$

1) $\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > -\frac{3}{2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$:
$-\frac{3}{2} = \log_{\frac{1}{4}}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}\right)$.
Вычислим значение степени: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > \log_{\frac{1}{4}}(8)$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x + 1 < 8 \Rightarrow x < 7$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow -1 < x < 7$.
Целые решения на этом интервале: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6

2) $\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2$

Найдем ОДЗ:
$12 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 12 \Rightarrow -\sqrt{12} < x < \sqrt{12} \Rightarrow -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3}$.
Приближенно: $-3.46 < x < 3.46$.

Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:
$2 = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^2) = \log_{\sqrt{3}}(3)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > \log_{\sqrt{3}}(3)$.

Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$12 - x^2 > 3 \Rightarrow 9 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3$.

Объединим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3} \\ -3 < x < 3 \end{cases}$.
Так как $-3 > -2\sqrt{3}$ и $3 < 2\sqrt{3}$, пересечением является интервал $(-3, 3)$.
Целые решения на этом интервале: -2, -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) $\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1$

Найдем ОДЗ:
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$.

Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Так как основание $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - x < 7 \Rightarrow -x < 4 \Rightarrow x > -4$.

Объединим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 3 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow -4 < x < 3$.
Целые решения на этом интервале: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

4) $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными, что приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2.5 \\ x > -1 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > 2.5$.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 5 < x + 1$.
$2x - x < 1 + 5 \Rightarrow x < 6$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2.5 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow 2.5 < x < 6$.
Целые решения на этом интервале: 3, 4, 5. Наибольшее из них — 5.

Ответ: 5