Номер 7.8, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.8, страница 54.

7.8. Решите неравенство:

1) $\log_2 (2x - 3) < \log_2 (x + 1);$

2) $\log_{0,6} (3 - 2x) > \log_{0,6} (5x - 2);$

3) $\lg (x^2 - 2) \ge \lg (4x + 3);$

4) $\log_{0,1} (10 - 2x) \ge \log_{0,1} (x^2 - x - 2).$

1) $\log_{2}(2x - 3) < \log_{2}(x + 1)$

Основание логарифма $a=2 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где оба подлогарифмических выражения строго больше нуля.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < x + 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1,5$

2) $x + 1 > 0 \implies x > -1$

3) $2x - 3 < x + 1 \implies 2x - x < 1 + 3 \implies x < 4$

Теперь найдем пересечение всех решений: $x > 1,5$, $x > -1$ и $x < 4$. Общим решением является интервал $1,5 < x < 4$.

Ответ: $(1,5; 4)$

2) $\log_{0,6}(3 - 2x) > \log_{0,6}(5x - 2)$

Основание логарифма $a=0,6$, где $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ 5x - 2 > 0 \\ 3 - 2x < 5x - 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3 - 2x > 0 \implies 3 > 2x \implies x < 1,5$

2) $5x - 2 > 0 \implies 5x > 2 \implies x > 0,4$

3) $3 - 2x < 5x - 2 \implies 3 + 2 < 5x + 2x \implies 5 < 7x \implies x > \frac{5}{7}$

Найдем пересечение решений: $x < 1,5$, $x > 0,4$ и $x > \frac{5}{7}$. Так как $\frac{5}{7} \approx 0,714$, то условие $x > 0,4$ поглощается условием $x > \frac{5}{7}$. Общее решение: $\frac{5}{7} < x < 1,5$.

Ответ: $(\frac{5}{7}; 1,5)$

3) $\lg(x^2 - 2) \geq \lg(4x + 3)$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание $a=10 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2 > 0 \\ 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 2 \geq 4x + 3 \end{cases}$

Решим неравенства для ОДЗ:

1) $x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

2) $4x + 3 > 0 \implies 4x > -3 \implies x > -0,75$

Пересечение условий ОДЗ $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ и $x > -0,75$ дает $x > \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1,414 > -0,75$).

Теперь решим основное неравенство:

3) $x^2 - 2 \geq 4x + 3 \implies x^2 - 4x - 5 \geq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 4x - 5 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$.

Найдем пересечение решения основного неравенства с ОДЗ ($x > \sqrt{2}$):

Пересекая $(-\infty; -1] \cup [5; +\infty)$ с $(\sqrt{2}; +\infty)$, получаем $x \geq 5$.

Ответ: $[5; +\infty)$

4) $\log_{0,1}(10 - 2x) \geq \log_{0,1}(x^2 - x - 2)$

Основание логарифма $a=0,1$, где $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} 10 - 2x > 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \\ 10 - 2x \leq x^2 - x - 2 \end{cases}$

Решим неравенства для ОДЗ:

1) $10 - 2x > 0 \implies 10 > 2x \implies x < 5$

2) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x_1=2, x_2=-1$. Ветви параболы вверх, значит неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение ОДЗ ($x < 5$ и $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$) дает $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 5)$.

Решим основное неравенство:

3) $10 - 2x \leq x^2 - x - 2 \implies 0 \leq x^2 + x - 12$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Ветви параболы вверх, значит неравенство $x^2 + x - 12 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 5)$:

Для интервала $(-\infty; -1)$: пересечение с $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ дает $(-\infty; -4]$.

Для интервала $(2; 5)$: пересечение с $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ дает $[3; 5)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [3; 5)$