Номер 7.2, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.2, страница 54.

7.2. Решите неравенство:

1) $lg x < lg 4;$

2) $\log_{5/6} x > \log_{5/6} \frac{6}{7};$

3) $\log_{12} (x - 8) > \log_{12} 3;$

4) $\log_{16} (4x - 6) < \log_{16} 10;$

5) $\log_{8/11} (2 - x) < \log_{8/11} 2;$

6) $\log_{0,9} (2x + 1) > \log_{0,9} 5.$

1) Дано неравенство $\lg x < \lg 4$.
Это логарифмическое неравенство с основанием $a = 10$. Так как основание $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что для аргументов логарифмов сохраняется тот же знак неравенства.
Кроме того, необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
Таким образом, решение неравенства сводится к решению системы:
$ \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем $0 < x < 4$.
Ответ: $x \in (0; 4)$.

2) Дано неравенство $\log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \frac{6}{7}$.
Основание логарифма $a = \frac{5}{6}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $x > 0$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} x < \frac{6}{7} \\ x > 0 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(0; \frac{6}{7})$.
Ответ: $x \in (0; \frac{6}{7})$.

3) Дано неравенство $\log_{12} (x - 8) > \log_{12} 3$.
Основание логарифма $a = 12$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, то есть $x - 8 > 0$, откуда $x > 8$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 8 > 3 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 11 \\ x > 8 \end{cases} $
Пересечением этих двух условий является $x > 11$.
Ответ: $x \in (11; +\infty)$.

4) Дано неравенство $\log_{16} (4x - 6) < \log_{16} 10$.
Основание логарифма $a = 16$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $4x - 6 > 0 \Rightarrow 4x > 6 \Rightarrow x > \frac{6}{4} \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 4x - 6 < 10 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x < 16 \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 1.5 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(1.5; 4)$.
Ответ: $x \in (1.5; 4)$.

5) Дано неравенство $\log_{\frac{8}{11}} (2 - x) < \log_{\frac{8}{11}} 2$.
Основание логарифма $a = \frac{8}{11}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 2 - x > 2 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -x > 0 \\ x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x < 2 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

6) Дано неравенство $\log_{0.9} (2x + 1) > \log_{0.9} 5$.
Основание логарифма $a = 0.9$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
ОДЗ: $2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$.
Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} 2x + 1 < 5 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x < 4 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -0.5 \end{cases} $
Решением системы является интервал $(-0.5; 2)$.
Ответ: $x \in (-0.5; 2)$.