Номер 6.18, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.18, страница 51.

6.18. Решите уравнение:

1) $3\log_{8}^{2}(-x) - 2\log_{8}(-x) - 1 = 0;$

2) $2\log_{7}\sqrt{x} = \log_{7}^{2}x - 6;$

3) $3\log_{3}x + 3\log_{x}3 = 10;$

4) $\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1.$

1) $3\log_8^2(-x) - 2\log_8(-x) - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_8(-x)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

$-x > 0 \implies x < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_8(-x)$. Тогда уравнение принимает вид:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1. Если $t_1 = 1$, то $\log_8(-x) = 1$. По определению логарифма:

$-x = 8^1$

$-x = 8$

$x_1 = -8$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

2. Если $t_2 = -\frac{1}{3}$, то $\log_8(-x) = -\frac{1}{3}$. По определению логарифма:

$-x = 8^{-1/3} = \frac{1}{8^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$

$-x = \frac{1}{2}$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $x = -8; x = -\frac{1}{2}$.

2) $2\log_7 \sqrt{x} = \log_7^2 x - 6$

Определим ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$.

$2\log_7 x^{1/2} = \log_7^2 x - 6$

$2 \cdot \frac{1}{2} \log_7 x = \log_7^2 x - 6$

$\log_7 x = \log_7^2 x - 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\log_7 x$:

$\log_7^2 x - \log_7 x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_7 x$.

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 3$, то $\log_7 x = 3$.

$x_1 = 7^3 = 343$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

2. Если $t_2 = -2$, то $\log_7 x = -2$.

$x_2 = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = 343; x = \frac{1}{49}$.

3) $3\log_3 x + 3\log_{3x} 3 = 10$

Определим ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Основание логарифма: $3x > 0$ и $3x \neq 1$. Отсюда $x > 0$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Итак, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго слагаемого: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$\log_{3x} 3 = \frac{1}{\log_3 (3x)}$

Теперь используем свойство логарифма произведения: $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$.

$\log_3 (3x) = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$.

Подставим все в исходное уравнение:

$3\log_3 x + \frac{3}{1 + \log_3 x} = 10$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Заметим, что $1 + t \neq 0$, так как $t = -1$ соответствует $x = 1/3$, что не входит в ОДЗ.

$3t + \frac{3}{1+t} = 10$

Умножим обе части уравнения на $(1+t)$:

$3t(1+t) + 3 = 10(1+t)$

$3t + 3t^2 + 3 = 10 + 10t$

$3t^2 - 7t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 49 + 84 = 133$

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{133}}{6}$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{133}}{6}$

Выполним обратную замену:

1. $\log_3 x = \frac{7 + \sqrt{133}}{6} \implies x_1 = 3^{\frac{7 + \sqrt{133}}{6}}$

2. $\log_3 x = \frac{7 - \sqrt{133}}{6} \implies x_2 = 3^{\frac{7 - \sqrt{133}}{6}}$

Оба корня являются положительными числами и не равны $1/3$, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 3^{\frac{7 + \sqrt{133}}{6}}; x = 3^{\frac{7 - \sqrt{133}}{6}}$.

4) $\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1$

Определим ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Знаменатели дробей не равны нулю:

$\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} \implies x \neq 0.01$

$\lg x - 1 \neq 0 \implies \lg x \neq 1 \implies x \neq 10^1 \implies x \neq 10$

Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 0.01, x \neq 10$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда $t \neq -2$ и $t \neq 1$.

$\frac{t}{t+2} - \frac{2}{t-1} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t+2)(t-1)$:

$\frac{t(t-1) - 2(t+2)}{(t+2)(t-1)} = 1$

$t(t-1) - 2(t+2) = (t+2)(t-1)$

$t^2 - t - 2t - 4 = t^2 - t + 2t - 2$

$t^2 - 3t - 4 = t^2 + t - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$-3t - 4 = t - 2$

$-4t = 2$

$t = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Полученное значение $t = -0.5$ не равно $-2$ и $1$.

Выполним обратную замену:

$\lg x = -\frac{1}{2}$

$x = 10^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $x = \frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, не равен $0.01$ и не равен $10$. Корень подходит.

Ответ: $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$.