Номер 6.13, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.13, страница 50.

6.13. Решите уравнение:

1) $\log_4 (x - 3) + \log_4 x = 1$;

2) $\log_{0,5} (4 - x) + \log_{0,5} (x - 1) = -1$;

3) $\lg (x - 2) + \lg (x - 3) = 1 - \lg 5$;

4) $\log_3 (2x - 1) + \log_3 (x - 4) = 2$;

5) $\lg \sqrt{5x - 4} + \lg \sqrt{x + 1} = 2 + \lg 0,18$;

6) $\lg (x - 1) + \lg (x - 3) = \lg (1,5x - 3)$;

7) $\log_2 (5 - x) - \log_2 (x - 1) = 1 - \log_2 (x + 2)$;

8) $2\log_5 (x + 1) - \log_5 (x + 9) = \log_5 (3x - 17)$.

1) $\log_4(x - 3) + \log_4 x = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
$x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_4((x - 3)x) = 1$

По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$:
$(x - 3)x = 4^1$
$x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 3$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 3$. Это посторонний корень.

Ответ: $4$

2) $\log_{0,5}(4 - x) + \log_{0,5}(x - 1) = -1$

ОДЗ:
$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 4$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,5}((4 - x)(x - 1)) = -1$

По определению логарифма:
$(4 - x)(x - 1) = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$4x - 4 - x^2 + x = 2$
$-x^2 + 5x - 4 = 2$
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($1 < x < 4$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($1 < 2 < 4$).
$x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($1 < 3 < 4$).

Ответ: $2; 3$

3) $\lg(x - 2) + \lg(x - 3) = 1 - \lg 5$

ОДЗ:
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Перенесем $\lg 5$ в левую часть и представим 1 как $\lg 10$:
$\lg(x - 2) + \lg(x - 3) + \lg 5 = 1$
$\lg((x - 2)(x - 3) \cdot 5) = \lg 10$
Другой способ: $1 - \lg 5 = \lg 10 - \lg 5 = \lg(10/5) = \lg 2$. Тогда:
$\lg((x - 2)(x - 3)) = \lg 2$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(x - 2)(x - 3) = 2$
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 3$).
$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \ngtr 3$).

Ответ: $4$

4) $\log_3(2x - 1) + \log_3(x - 4) = 2$

ОДЗ:
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1/2$
$x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 4$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3((2x - 1)(x - 4)) = 2$

По определению логарифма:
$(2x - 1)(x - 4) = 3^2 = 9$
$2x^2 - 8x - x + 4 = 9$
$2x^2 - 9x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x = \frac{9 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 11}{4}$
$x_1 = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 4$).
$x_2 = -0,5$ не удовлетворяет условию ($-0,5 \ngtr 4$).

Ответ: $5$

5) $\lg\sqrt{5x-4} + \lg\sqrt{x+1} = 2 + \lg 0,18$

ОДЗ (выражения под корнями должны быть строго положительными, так как они являются аргументами логарифмов):
$5x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4/5 = 0,8$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0,8$.

Преобразуем уравнение. Левая часть: $\lg(\sqrt{5x-4} \cdot \sqrt{x+1}) = \lg\sqrt{(5x-4)(x+1)}$.
Правая часть: $2 + \lg 0,18 = \lg 10^2 + \lg 0,18 = \lg 100 + \lg 0,18 = \lg(100 \cdot 0,18) = \lg 18$.
Уравнение принимает вид: $\lg\sqrt{(5x-4)(x+1)} = \lg 18$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\sqrt{(5x-4)(x+1)} = 18$
Возводим обе части в квадрат:
$(5x-4)(x+1) = 18^2 = 324$
$5x^2 + 5x - 4x - 4 = 324$
$5x^2 + x - 328 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-328) = 1 + 6560 = 6561 = 81^2$
$x = \frac{-1 \pm 81}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 81}{10}$
$x_1 = \frac{-1 + 81}{10} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{-1 - 81}{10} = \frac{-82}{10} = -8,2$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 0,8$):
$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > 0,8$).
$x_2 = -8,2$ не удовлетворяет условию ($-8,2 \ngtr 0,8$).

Ответ: $8$

6) $\lg(x - 1) + \lg(x - 3) = \lg(1,5x - 3)$

ОДЗ:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
$1,5x - 3 > 0 \Rightarrow 1,5x > 3 \Rightarrow x > 2$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Преобразуем левую часть:
$\lg((x-1)(x-3)) = \lg(1,5x - 3)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$(x-1)(x-3) = 1,5x - 3$
$x^2 - 4x + 3 = 1,5x - 3$
$x^2 - 5,5x + 6 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 - 11x + 12 = 0$.

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 = 5^2$
$x = \frac{11 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 > 3$).
$x_2 = 1,5$ не удовлетворяет условию ($1,5 \ngtr 3$).

Ответ: $4$

7) $\log_2(5 - x) - \log_2(x - 1) = 1 - \log_2(x + 2)$

ОДЗ:
$5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 5$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и представим 1 как $\log_2 2$:
$\log_2(5 - x) - \log_2(x - 1) + \log_2(x + 2) = 1$
$\log_2\left(\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1}\right) = \log_2 2$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 2$
$(5 - x)(x + 2) = 2(x - 1)$
$5x + 10 - x^2 - 2x = 2x - 2$
$-x^2 + 3x + 10 = 2x - 2$
$-x^2 + x + 12 = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($1 < x < 5$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($1 < 4 < 5$).
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $4$

8) $2\log_5(x + 1) - \log_5(x + 9) = \log_5(3x - 17)$

ОДЗ:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
$x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9$
$3x - 17 > 0 \Rightarrow 3x > 17 \Rightarrow x > 17/3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 17/3$.

Используем свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:
$\log_5(x + 1)^2 - \log_5(x + 9) = \log_5(3x - 17)$
$\log_5\left(\frac{(x + 1)^2}{x + 9}\right) = \log_5(3x - 17)$

Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{(x + 1)^2}{x + 9} = 3x - 17$
$(x + 1)^2 = (3x - 17)(x + 9)$
$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 27x - 17x - 153$
$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 10x - 153$
$2x^2 + 8x - 154 = 0$
$x^2 + 4x - 77 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно -77. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -11$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 17/3 \approx 5.67$):
$x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 > 17/3$).
$x_2 = -11$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $7$