Номер 6.7, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.7, страница 49.

6.7. Решите уравнение:

1) $\log_2 (3^{5x-3} + 1) = 2;$

2) $\log_3 (3^{x-1} + 6) = x;$

3) $\log_2 (2^x + 7) = 3 - x;$

4) $\log_6 (6^{-x} - 5) = x + 1.$

1) $\log_{2}(3^{5x-3} + 1) = 2$

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $a^c = b$. Применим это свойство к нашему уравнению.

Основание логарифма $a=2$, показатель $c=2$, аргумент $b = 3^{5x-3} + 1$.

Получаем уравнение:

$3^{5x-3} + 1 = 2^2$

$3^{5x-3} + 1 = 4$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$3^{5x-3} = 3$

Так как $3 = 3^1$, мы можем приравнять показатели степеней:

$5x - 3 = 1$

Теперь решим линейное уравнение:

$5x = 1 + 3$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля. $3^{5x-3} + 1 > 0$. Так как $3$ в любой степени — положительное число, то $3^{5x-3} > 0$, следовательно $3^{5x-3} + 1 > 1$. ОДЗ выполняется для любого $x$.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$

2) $\log_{3}(3^{x-1} + 6) = x$

Используем определение логарифма:

$3^{x-1} + 6 = 3^x$

Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{3^x}{3^1} + 6 = 3^x$

$\frac{1}{3} \cdot 3^x + 6 = 3^x$

Перенесем слагаемые с $3^x$ в одну сторону:

$6 = 3^x - \frac{1}{3} \cdot 3^x$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$6 = 3^x(1 - \frac{1}{3})$

$6 = 3^x \cdot \frac{2}{3}$

Выразим $3^x$:

$3^x = 6 \cdot \frac{3}{2}$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки:

$3^x = 3^2$

Приравниваем показатели:

$x = 2$

Проверка ОДЗ: $3^{x-1} + 6 = 3^{2-1} + 6 = 3^1 + 6 = 9 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 2$

3) $\log_{2}(2^x + 7) = 3 - x$

По определению логарифма:

$2^x + 7 = 2^{3-x}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x + 7 = \frac{2^3}{2^x}$

$2^x + 7 = \frac{8}{2^x}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t + 7 = \frac{8}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t(t+7) = 8$

$t^2 + 7t = 8$

$t^2 + 7t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -8$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет этому условию. Остается $t_1 = 1$.

Вернемся к замене:

$2^x = t$

$2^x = 1$

Так как $1 = 2^0$, получаем:

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Проверка ОДЗ: $2^x + 7 = 2^0 + 7 = 1 + 7 = 8 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$

4) $\log_{6}(6^{-x} - 5) = x + 1$

По определению логарифма:

$6^{-x} - 5 = 6^{x+1}$

Используем свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\frac{1}{6^x} - 5 = 6^x \cdot 6^1$

$\frac{1}{6^x} - 5 = 6 \cdot 6^x$

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$, то $t > 0$.

$\frac{1}{t} - 5 = 6t$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$1 - 5t = 6t^2$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$6t^2 + 5t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = \frac{1}{6}$.

Вернемся к замене:

$6^x = t$

$6^x = \frac{1}{6}$

Так как $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, получаем:

$6^x = 6^{-1}$

$x = -1$

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен. $6^{-x} - 5 > 0$.

Подставим найденный корень $x=-1$:

$6^{-(-1)} - 5 = 6^1 - 5 = 6 - 5 = 1$.

$1 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = -1$