Номер 6.8, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 6. Логарифмические уравнения. Упражнения - номер 6.8, страница 49.

Учебник.

6.8. Решите уравнение:

1) $\log_6 (6^{x+1} - 30) = x;$

2) $\log_5 (6 - 5^x) = 1 - x.$

Решение.

Решение 2.

1) $\log_6(6^{x+1} - 30) = x$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$6^{x+1} - 30 > 0$
$6 \cdot 6^x > 30$
$6^x > \frac{30}{6}$
$6^x > 5$
$x > \log_6 5$

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:
$6^{x+1} - 30 = 6^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$6^x \cdot 6^1 - 30 = 6^x$

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$6t - 30 = t$

Решим полученное линейное уравнение относительно $t$:
$6t - t = 30$
$5t = 30$
$t = 6$

Выполним обратную замену:
$6^x = 6$
$6^x = 6^1$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > \log_6 5$).
Нам нужно сравнить $1$ и $\log_6 5$. Так как основание логарифма $6 > 1$, функция $y = \log_6 x$ возрастающая. Поскольку $6 > 5$, то $\log_6 6 > \log_6 5$, то есть $1 > \log_6 5$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$

2) $\log_5(6 - 5^x) = 1 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:
$6 - 5^x > 0$
$6 > 5^x$
$x < \log_5 6$

Используя определение логарифма ($a = b^c$ для $\log_b a = c$), преобразуем уравнение:
$6 - 5^x = 5^{1-x}$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получим:
$6 - 5^x = \frac{5^1}{5^x}$

Сделаем замену переменной, пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$, получаем $t > 0$.
Уравнение преобразуется к виду:
$6 - t = \frac{5}{t}$

Домножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t(6 - t) = 5$
$6t - t^2 = 5$
$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни легко находятся:
$t_1 = 1$
$t_2 = 5$
Оба корня положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t_1 = 1$, то $5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x_1 = 0$.
2) Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x < \log_5 6$).
Для $x_1 = 0$: $0 < \log_5 6$, что верно, так как $5^0 = 1 < 6$.
Для $x_2 = 1$: $1 < \log_5 6$, что верно, так как $1 = \log_5 5$, а $5 < 6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 1$