Номер 6.3, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.3, страница 49.

6.3. Решите уравнение:

1) $\log_{\pi} (x + 1) = \log_{\pi} (4x - 5)$;

2) $\log_{5} (3x - 5) = \log_{5} (x - 3)$;

3) $\lg (x^2 + 2) = \lg (3x + 6).$

1) $\log_{\pi}(x+1) = \log_{\pi}(4x-5)$

Это логарифмическое уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = g(x)$ и одного из неравенств $f(x) > 0$ или $g(x) > 0$, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Выбираем более простое неравенство для проверки. В данном случае, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+1 = 4x-5 \\ x+1 > 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x+1 = 4x-5$

$1+5 = 4x-x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ неравенству системы, которое задает ОДЗ:

$x+1 > 0$

$2+1 > 0$

$3 > 0$

Неравенство верное, следовательно, корень $x=2$ является решением уравнения. Также можно было бы проверить и второе условие ОДЗ: $4x-5 > 0 \implies 4 \cdot 2 - 5 = 3 > 0$, что тоже верно.

Ответ: $2$.

2) $\log_{5}(3x-5) = \log_{5}(x-3)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x-5 = x-3 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

(Мы выбрали неравенство $x-3 > 0$ для проверки, так как оно проще).

Решим уравнение из системы:

$3x-5 = x-3$

$3x-x = 5-3$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ неравенству системы:

$x-3 > 0$

$1-3 > 0$

$-2 > 0$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что корень $x=1$ является посторонним, так как не входит в область допустимых значений исходного логарифмического уравнения.

Ответ: корней нет.

3) $\lg(x^2+2) = \lg(3x+6)$

Данное уравнение (где $\lg$ - десятичный логарифм) равносильно системе:

$\begin{cases} x^2+2 = 3x+6 \\ 3x+6 > 0 \end{cases}$

(Мы не проверяем неравенство $x^2+2>0$, так как оно выполняется для любого действительного числа $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+2 \ge 2$).

Решим квадратное уравнение:

$x^2+2 = 3x+6$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Для решения используем теорему Виета. Сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $3x+6 > 0$, то есть $x > -2$.

Для $x_1 = 4$:

$4 > -2$. Неравенство верное, значит, $x=4$ является корнем.

Для $x_2 = -1$:

$-1 > -2$. Неравенство также верное, значит, $x=-1$ тоже является корнем.

Оба найденных корня входят в область допустимых значений.

Ответ: $-1; 4$.