Номер 5.37, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.37, страница 44.

5.37. Упростите выражение $\sqrt{\frac{a - 2\sqrt{a-1}}{a + 2\sqrt{a-1}}} + \sqrt{\frac{a + 2\sqrt{a-1}}{a - 2\sqrt{a-1}}} - \frac{4}{\sqrt{a^2 - 4a + 4}}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$. Выражение $\sqrt{a-1}$ требует, чтобы $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Знаменатель $a - 2\sqrt{a-1}$ обращается в ноль при $a=2$. Знаменатель $\sqrt{a^2-4a+4} = |a-2|$ также равен нулю при $a=2$. Таким образом, ОДЗ: $a \ge 1$ и $a \neq 2$.

Упростим данное выражение. Преобразуем выражения под знаками больших корней, выделив полные квадраты: $a \pm 2\sqrt{a-1} = (a-1) \pm 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1} \pm 1)^2$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2}{(\sqrt{a-1} + 1)^2}} + \sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} + 1)^2}{(\sqrt{a-1} - 1)^2}} - \frac{4}{\sqrt{(a-2)^2}}$

Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:

$\frac{|\sqrt{a-1} - 1|}{|\sqrt{a-1} + 1|} + \frac{|\sqrt{a-1} + 1|}{|\sqrt{a-1} - 1|} - \frac{4}{|a-2|}$

Поскольку $a \ge 1$, то $\sqrt{a-1} \ge 0$ и $\sqrt{a-1}+1 > 0$, следовательно $|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$. Выражение упрощается до:

$\frac{|\sqrt{a-1} - 1|}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{|\sqrt{a-1} - 1|} - \frac{4}{|a-2|}$

Для раскрытия оставшихся модулей рассмотрим два случая, на которые ОДЗ разбивается точкой $a=2$.

Случай 1: $a > 2$

При $a > 2$ имеем $\sqrt{a-1} > 1$, поэтому $\sqrt{a-1}-1 > 0$ и $|\sqrt{a-1}-1| = \sqrt{a-1}-1$. Также $|a-2|=a-2$. Выражение становится:

$\frac{\sqrt{a-1} - 1}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{\sqrt{a-1} - 1} - \frac{4}{a-2}$

Приводя первые два слагаемых к общему знаменателю $(a-2)$, получаем:

$\frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2 + (\sqrt{a-1} + 1)^2}{a-2} - \frac{4}{a-2} = \frac{2(a-1+1)}{a-2} - \frac{4}{a-2} = \frac{2a-4}{a-2} = \frac{2(a-2)}{a-2} = 2$.

Случай 2: $1 \le a < 2$

При $1 \le a < 2$ имеем $0 \le \sqrt{a-1} < 1$, поэтому $\sqrt{a-1}-1 < 0$ и $|\sqrt{a-1}-1| = 1-\sqrt{a-1}$. Также $|a-2|=-(a-2)=2-a$. Выражение становится:

$\frac{1-\sqrt{a-1}}{1+\sqrt{a-1}} + \frac{1+\sqrt{a-1}}{1-\sqrt{a-1}} - \frac{4}{2-a}$

Приводя первые два слагаемых к общему знаменателю $(2-a)$, получаем:

$\frac{(1-\sqrt{a-1})^2 + (1+\sqrt{a-1})^2}{2-a} - \frac{4}{2-a} = \frac{2(1+a-1)}{2-a} - \frac{4}{2-a} = \frac{2a-4}{2-a} = \frac{2(a-2)}{-(a-2)} = -2$.

Ответ: $2$ при $a>2$; $-2$ при $1 \le a < 2$.