Номер 5.33, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.33, страница 44.

5.33. Найдите область определения функции:

1) $y = \lg (1 - \sin x);$

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2)};$

3) $y = \sqrt{\lg \cos x};$

4) $y = \frac{1}{\log_6(x - 3)} + \sqrt{6 - x};$

5) $y = \sqrt{\frac{(x + 1)(3 - x)}{\lg(x^2 + 1)}};$

6) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3) + \frac{1}{\log_5 (7 - x)};$

7) $y = \lg(6x - x^2) + \frac{1}{\lg(3 - x)};$

8) $y = \log_{x+3} (x^2 + x).$

1) Область определения функции $y = \lg(1 - \sin x)$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - \sin x > 0$
$\sin x < 1$
Известно, что значение синуса никогда не превышает 1. Равенство $\sin x = 1$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, для которых $\sin x = 1$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2)}$ задается двумя условиями:
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $1 + x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
2. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2) \ge 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$1 + x^2 \le (\frac{1}{3})^0$
$1 + x^2 \le 1$
$x^2 \le 0$
Единственное действительное число, удовлетворяющее этому неравенству, это $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ задается системой неравенств:
$\begin{cases} \lg \cos x \ge 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Так как основание десятичного логарифма 10 больше 1, знак неравенства сохраняется:
$\cos x \ge 10^0$
$\cos x \ge 1$
Учитывая, что область значений функции косинуса $[-1, 1]$, единственное решение неравенства $\cos x \ge 1$ — это $\cos x = 1$. Это решение также удовлетворяет второму условию системы ($\cos x > 0$).
Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\log_6(x - 3)} + \sqrt{6 - x}$ задается системой условий:
$\begin{cases} x - 3 > 0 & \text{(аргумент логарифма положителен)} \\ \log_6(x - 3) \neq 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)} \\ 6 - x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \end{cases}$
Решаем систему:
1. $x - 3 > 0 \implies x > 3$
2. $\log_6(x - 3) \neq 0 \implies x - 3 \neq 6^0 \implies x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4$
3. $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$
Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть в интервале $(3, 6]$, исключая точку $x=4$.
Ответ: $x \in (3, 4) \cup (4, 6]$.

5) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)}}$ задается системой условий:
$\begin{cases} \frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)} \ge 0 \\ \lg(x^2+1) \neq 0 \\ x^2+1 > 0 \end{cases}$
Третье условие $x^2+1 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Второе условие $\lg(x^2+1) \neq 0 \implies x^2+1 \neq 1 \implies x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.
При $x \neq 0$, имеем $x^2 > 0$, следовательно $x^2+1 > 1$. Так как функция $t \mapsto \lg t$ возрастающая, то $\lg(x^2+1) > \lg(1) = 0$. Значит, знаменатель всегда положителен.
Тогда первое неравенство сводится к неотрицательности числителя:
$(x+1)(3-x) \ge 0$
$-(x+1)(x-3) \ge 0$
$(x+1)(x-3) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-1, 3]$.
Исключаем из этого отрезка точку $x=0$.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 3]$.

6) Область определения функции $y = \log_5(x^2 - 4x + 3) + \frac{1}{\log_5(7-x)}$ задается системой условий:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ 7 - x > 0 \\ \log_5(7-x) \neq 0 \end{cases}$
Решаем каждое условие:
1. $x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
2. $7 - x > 0 \implies x < 7$.
3. $\log_5(7-x) \neq 0 \implies 7-x \neq 5^0 \implies 7-x \neq 1 \implies x \neq 6$.
Находим пересечение полученных множеств: $( (-\infty, 1) \cup (3, \infty) ) \cap (-\infty, 7) \cap \{x | x \neq 6 \}$.
$(-\infty, 1) \cup (3, 7)$, исключая $x=6$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 6) \cup (6, 7)$.

7) Область определения функции $y = \lg(6x - x^2) + \frac{1}{\lg(3-x)}$ задается системой условий:
$\begin{cases} 6x - x^2 > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \lg(3-x) \neq 0 \end{cases}$
Решаем каждое условие:
1. $6x - x^2 > 0 \implies x(6-x) > 0$. Решением является интервал $x \in (0, 6)$.
2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.
3. $\lg(3-x) \neq 0 \implies 3-x \neq 10^0 \implies 3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
Находим пересечение: $(0, 6) \cap (-\infty, 3) \cap \{x | x \neq 2 \}$.
Пересечение $(0, 6)$ и $(-\infty, 3)$ дает интервал $(0, 3)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=2$.
Ответ: $x \in (0, 2) \cup (2, 3)$.

8) Область определения функции $y = \log_{x+3}(x^2 + x)$ с переменным основанием задается системой условий:
$\begin{cases} x^2 + x > 0 & \text{(аргумент положителен)} \\ x + 3 > 0 & \text{(основание положительно)} \\ x + 3 \neq 1 & \text{(основание не равно 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
1. $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.
2. $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
3. $x + 3 \neq 1 \implies x \neq -2$.
Находим пересечение множеств. Из условия $x > -3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ получаем $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.
Теперь учтем условие $x \neq -2$. Точка $-2$ принадлежит интервалу $(-3, -1)$, поэтому ее нужно исключить.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, \infty)$.