Номер 5.31, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.31, страница 43.

5.31. Сравните $\log_2 3 + \log_3 2$ и 2.

Для того чтобы сравнить значение выражения $ \log_2 3 + \log_3 2 $ с числом $ 2 $, мы можем использовать алгебраические преобразования и свойства неравенств.

Пусть $ x = \log_2 3 $. Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $, мы можем выразить $ \log_3 2 $: $ \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{x} $.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде $ x + \frac{1}{x} $. Задача сводится к сравнению $ x + \frac{1}{x} $ и $ 2 $.

Оценим значение $ x $. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_2 t $ является возрастающей. Поскольку $ 3 > 2 $, то $ \log_2 3 > \log_2 2 $. Так как $ \log_2 2 = 1 $, мы получаем, что $ x = \log_2 3 > 1 $. В частности, это означает, что $ x $ — положительное число, не равное единице.

Рассмотрим разность между выражением $ x + \frac{1}{x} $ и числом $ 2 $: $ \left(x + \frac{1}{x}\right) - 2 $

Приведем это выражение к общему знаменателю: $ \frac{x^2 + 1 - 2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} $

Проанализируем знак полученной дроби. Мы установили, что $ x = \log_2 3 > 1 $, следовательно, знаменатель $ x $ положителен ($ x > 0 $). Числитель $ (x-1)^2 $ — это квадрат действительного числа. Поскольку $ x \ne 1 $, то $ x-1 \ne 0 $, а значит, квадрат этого числа строго положителен: $ (x-1)^2 > 0 $.

Так как и числитель, и знаменатель дроби $ \frac{(x-1)^2}{x} $ положительны, то и сама дробь положительна: $ \frac{(x-1)^2}{x} > 0 $

Это означает, что разность, которую мы рассматривали, также положительна: $ \left(x + \frac{1}{x}\right) - 2 > 0 $

Из этого неравенства следует: $ x + \frac{1}{x} > 2 $

Подставив обратно $ x = \log_2 3 $, получаем окончательный результат: $ \log_2 3 + \log_3 2 > 2 $

Ответ: $ \log_2 3 + \log_3 2 > 2 $.