Номер 5.25, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.25, страница 43.

5.25. Постройте график функции:

1) $y = \log_2 (x - 1)$;

2) $y = \log_2 (x + 3)$;

3) $y = \log_2 x - 1$;

4) $y = \log_2 x + 3$;

5) $y = -\log_2 x$;

6) $y = \log_2 (-x)$.

Для построения графиков всех указанных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой логарифмической функции $y = \log_2 x$.

Основные характеристики базовой функции $y = \log_2 x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: все действительные числа.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
• График проходит через ключевые точки: $(\frac{1}{2}, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.
• Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

---

1) $y = \log_2 (x - 1)$

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \log_2 x$ путем сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=1$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0+1, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1+1, 0) = (2, 0)$
  • $(2, 1) \to (2+1, 1) = (3, 1)$
  • $(4, 2) \to (4+1, 2) = (5, 2)$
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положителен: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
• Вертикальная асимптота: Сдвигается вместе с графиком и становится прямой $x = 1$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x-1)$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота — $x=1$. График проходит через точки $(2, 0)$, $(3, 1)$ и $(5, 2)$.

---

2) $y = \log_2 (x + 3)$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=3$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0-3, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1-3, 0) = (-2, 0)$
  • $(2, 1) \to (2-3, 1) = (-1, 1)$
  • $(4, 2) \to (4-3, 2) = (1, 2)$
• Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
• Вертикальная асимптота: Сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x+3)$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы влево. Вертикальная асимптота — $x=-3$. График проходит через точки $(-2, 0)$, $(-1, 1)$ и $(1, 2)$.

---

3) $y = \log_2 x - 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-c$ при $c=1$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, y_0-1)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0-1) = (1, -1)$
  • $(2, 1) \to (2, 1-1) = (2, 0)$
  • $(4, 2) \to (4, 2-1) = (4, 1)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2 x - 1$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, -1)$, $(2, 0)$ и $(4, 1)$.

---

4) $y = \log_2 x + 3$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(x)+c$ при $c=3$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, y_0+3)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0+3) = (1, 3)$
  • $(2, 1) \to (2, 1+3) = (2, 4)$
  • $(4, 2) \to (4, 2+3) = (4, 5)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2 x + 3$ — это график функции $y = \log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, 3)$, $(2, 4)$ и $(4, 5)$.

---

5) $y = -\log_2 x$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (Ox). Это преобразование вида $f(x) \to -f(x)$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$.
  • $(1, 0) \to (1, 0)$
  • $(2, 1) \to (2, -1)$
  • $(4, 2) \to (4, -2)$
  • $(\frac{1}{2}, -1) \to (\frac{1}{2}, 1)$
• Область определения: $x > 0$. Не изменяется.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.
• Поведение функции: Функция становится убывающей.

Ответ: График функции $y = -\log_2 x$ — это график функции $y = \log_2 x$, отраженный симметрично относительно оси Ox. Вертикальная асимптота — $x=0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(4, -2)$.

---

6) $y = \log_2 (-x)$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (Oy). Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$.

• Преобразование точек: Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_2 x$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$.
  • $(1, 0) \to (-1, 0)$
  • $(2, 1) \to (-2, 1)$
  • $(4, 2) \to (-4, 2)$
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положителен: $-x > 0 \implies x < 0$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$. Не изменяется.

Ответ: График функции $y = \log_2(-x)$ — это график функции $y = \log_2 x$, отраженный симметрично относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$. Область определения $x < 0$. График проходит через точки $(-1, 0)$, $(-2, 1)$ и $(-4, 2)$.