Номер 5.19, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения - номер 5.19, страница 42.

Учебник.

5.19. Между какими двумя последовательными целыми числами находится число:

1) $\log_3 10;$

2) $\log_2 5;$

3) $\log_{\frac{1}{3}} 7;$

4) $\log_{0,1} 2?$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\log_3 10$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_3 10 < n+1$.
По определению логарифма, если $x = \log_b a$, то $b^x = a$. В нашем случае $3^x = 10$.
Наша задача сводится к поиску целых степеней числа 3, между которыми находится число 10.
Рассмотрим степени числа 3:
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
Так как $9 < 10 < 27$, мы можем записать неравенство $3^2 < 10 < 3^3$.
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и знаки неравенства при логарифмировании сохраняются.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 3:
$\log_3(3^2) < \log_3 10 < \log_3(3^3)$
$2 < \log_3 10 < 3$
Таким образом, число $\log_3 10$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

2) Для числа $\log_2 5$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_2 5 < n+1$.
Это эквивалентно поиску целых степеней числа 2, между которыми находится число 5, то есть $2^n < 5 < 2^{n+1}$.
Рассмотрим степени числа 2:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
Так как $4 < 5 < 8$, мы можем записать неравенство $2^2 < 5 < 2^3$.
Основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ возрастающая, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$\log_2(2^2) < \log_2 5 < \log_2(2^3)$
$2 < \log_2 5 < 3$
Таким образом, число $\log_2 5$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

3) Для числа $\log_{1/3} 7$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_{1/3} 7 < n+1$.
Основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и знаки неравенства при логарифмировании меняются на противоположные.
Найдем целые степени числа $1/3$, между которыми находится число 7.
Рассмотрим степени числа $1/3$:
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$
Мы видим, что $3 < 7 < 9$, то есть $(\frac{1}{3})^{-1} < 7 < (\frac{1}{3})^{-2}$.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию $1/3$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$\log_{1/3}((\frac{1}{3})^{-1}) > \log_{1/3} 7 > \log_{1/3}((\frac{1}{3})^{-2})$
$-1 > \log_{1/3} 7 > -2$
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2 < \log_{1/3} 7 < -1$
Таким образом, число $\log_{1/3} 7$ находится между целыми числами -2 и -1.
Ответ: между -2 и -1.

4) Для числа $\log_{0.1} 2$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_{0.1} 2 < n+1$.
Основание логарифма $a = 0.1$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0.1} x$ является убывающей.
Найдем целые степени числа 0.1, между которыми находится число 2.
Рассмотрим степени числа 0.1:
$(0.1)^0 = 1$
$(0.1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10$
Мы видим, что $1 < 2 < 10$, то есть $(0.1)^0 < 2 < (0.1)^{-1}$.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 0.1, меняя знаки неравенства на противоположные:
$\log_{0.1}((0.1)^0) > \log_{0.1} 2 > \log_{0.1}((0.1)^{-1})$
$0 > \log_{0.1} 2 > -1$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$-1 < \log_{0.1} 2 < 0$
Таким образом, число $\log_{0.1} 2$ находится между целыми числами -1 и 0.
Ответ: между -1 и 0.