Номер 5.12, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.12, страница 41.

5.12. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ равно -1, а наименьшее равно -2?

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Для убывающей функции верно, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это означает, что свое наибольшее значение на промежутке функция достигнет в левой границе этого промежутка (при наименьшем $x$), а наименьшее значение — в правой границе (при наибольшем $x$).

По условию, наибольшее значение функции равно -1. Найдем соответствующее значение аргумента $x$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -1$

По определению логарифма, $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

Это будет левая граница искомого промежутка.

По условию, наименьшее значение функции равно -2. Найдем соответствующее значение аргумента $x$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -2$

По определению логарифма, $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$.

Это будет правая граница искомого промежутка.

Таким образом, на промежутке $[2, 4]$ функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ принимает наибольшее значение -1 (при $x=2$) и наименьшее значение -2 (при $x=4$).

Ответ: $[2, 4]$.