Номер 5.6, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.6, страница 41.

5.6. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a \frac{2}{3} > \log_a \frac{1}{2}$;

2) $\log_a 2 < \log_a \sqrt{3}$.

1) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2} $.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_{a} x $:

• Если основание $ a > 1 $, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_{a} x_1 > \log_{a} x_2 $. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_{a} x_1 < \log_{a} x_2 $. Знак неравенства меняется на противоположный.

Сначала сравним аргументы логарифмов: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{2} $.
Приведя дроби к общему знаменателю 6, получаем $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{3}{6} $.
Так как $ 4 > 3 $, то $ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $.

Теперь сопоставим это с исходным неравенством $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2} $.
Мы видим, что большему значению аргумента $ \frac{2}{3} $ соответствует большее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов совпадает со знаком неравенства для их логарифмов.
Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей, что возможно только при основании, большем единицы.

Ответ: $ a > 1 $.

2) Дано неравенство $ \log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ 2 $ и $ \sqrt{3} $.
Чтобы сравнить эти числа, возведем их в квадрат:
$ 2^2 = 4 $
$ (\sqrt{3})^2 = 3 $
Поскольку $ 4 > 3 $, то $ 2 > \sqrt{3} $.

Теперь сопоставим это с исходным неравенством $ \log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3} $.
Мы видим, что большему значению аргумента $ 2 $ соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($ > $) противоположен знаку неравенства для их логарифмов ($ < $).
Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, что возможно только при основании, которое больше нуля, но меньше единицы.

Ответ: $ 0 < a < 1 $.