Номер 5.13, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.13, страница 42.

5.13. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \log_3(x + 1);$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1);$

3) $f(x) = \log_4(-x);$

4) $f(x) = \lg x^2;$

5) $f(x) = \log_5(x^2 + x + 1);$

6) $f(x) = \log_{0.6}(5x - 6 - x^2);$

7) $f(x) = 2\lg x + 3\lg (2 - x);$

8) $f(x) = \log_2 \frac{2x - 3}{x + 7}.$

1) $f(x) = \log_3 (x + 1)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ задается условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент), должно быть строго больше нуля. В данном случае аргумент логарифма равен $x + 1$.

Составим и решим неравенство:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие -1.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 1)$

Аргумент логарифма равен $x^2 + 1$. Условие для области определения:

$x^2 + 1 > 0$

Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного значения $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$ для любого $x$.

Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

3) $f(x) = \log_4 (-x)$

Аргумент логарифма равен $-x$. Условие для области определения:

$-x > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

4) $f(x) = \lg x^2$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10. Аргумент логарифма равен $x^2$. Условие для области определения:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Во всех остальных случаях квадрат числа положителен. Таким образом, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

5) $f(x) = \log_5 (x^2 + x + 1)$

Аргумент логарифма равен $x^2 + x + 1$. Условие для области определения:

$x^2 + x + 1 > 0$

Это квадратичное неравенство. Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

6) $f(x) = \log_{0,6} (5x - 6 - x^2)$

Аргумент логарифма равен $5x - 6 - x^2$. Условие для области определения:

$5x - 6 - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $2 < x < 3$.

Ответ: $x \in (2; 3)$

7) $f(x) = 2\lg x + 3\lg (2 - x)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения двух слагаемых: $2\lg x$ и $3\lg (2 - x)$.

1. Для слагаемого $2\lg x$ аргумент логарифма $x$ должен быть положителен: $x > 0$.

2. Для слагаемого $3\lg (2 - x)$ аргумент $2 - x$ должен быть положителен: $2 - x > 0$, что равносильно $x < 2$.

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$

8) $f(x) = \log_2 \frac{2x - 3}{x + 7}$

Аргумент логарифма равен дроби $\frac{2x - 3}{x + 7}$. Условие для области определения:

$\frac{2x - 3}{x + 7} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5$.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$.

Отметим точки $-7$ и $1,5$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 1,5)$ и $(1,5; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x \in (1,5; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{2(2) - 3}{2 + 7} = \frac{1}{9} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-7; 1,5)$, например $x=0$: $\frac{2(0) - 3}{0 + 7} = -\frac{3}{7} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-\infty; -7)$, например $x=-8$: $\frac{2(-8) - 3}{-8 + 7} = \frac{-19}{-1} = 19 > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (1,5; +\infty)$