Номер 5.7, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения - номер 5.7, страница 41.

Учебник.

5.7. Положительным или отрицательным числом является:

1) $log_{0,5} 0,6;$

2) $log_{0,3} 3;$

3) $log_{2} 0,27;$

4) $log_{\pi} 3?$

Решение.

Решение 2.

Для определения знака логарифма $log_a b$ можно воспользоваться следующим правилом, основанным на свойствах логарифмической функции $y = log_a x$:

• Если основание $a > 1$, то функция возрастает. Тогда, если аргумент $b > 1$, то $log_a b > log_a 1 = 0$ (положительное). Если $0 < b < 1$, то $log_a b < log_a 1 = 0$ (отрицательное).
• Если $0 < a < 1$, то функция убывает. Тогда, если аргумент $b > 1$, то $log_a b < log_a 1 = 0$ (отрицательное). Если $0 < b < 1$, то $log_a b > log_a 1 = 0$ (положительное).

Таким образом, логарифм положителен, если основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (оба больше 1, или оба меньше 1). Логарифм отрицателен, если они находятся по разные стороны от 1.

1) $log_{0,5} 0,6$

Основание логарифма $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, основание меньше 1.
Аргумент логарифма $b = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, аргумент тоже меньше 1.
Основание и аргумент находятся по одну сторону от 1. Следовательно, значение логарифма положительно.
Ответ: положительным.

2) $log_{0,3} 3$

Основание логарифма $a = 0,3$. Так как $0 < 0,3 < 1$, основание меньше 1.
Аргумент логарифма $b = 3$. Так как $3 > 1$, аргумент больше 1.
Основание и аргумент находятся по разные стороны от 1. Следовательно, значение логарифма отрицательно.
Ответ: отрицательным.

3) $log_2 0,27$

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, основание больше 1.
Аргумент логарифма $b = 0,27$. Так как $0 < 0,27 < 1$, аргумент меньше 1.
Основание и аргумент находятся по разные стороны от 1. Следовательно, значение логарифма отрицательно.
Ответ: отрицательным.

4) $log_{\pi} 3$

Основание логарифма $a = \pi$. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$, поэтому $a > 1$.
Аргумент логарифма $b = 3$. Так как $3 > 1$, аргумент тоже больше 1.
Основание и аргумент находятся по одну сторону от 1. Следовательно, значение логарифма положительно.
Ответ: положительным.