Номер 5.3, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.3, страница 41.

5.3. Сравните:

1) $log_{12} 5$ и $log_{12} 6$;

2) $log_{5} \frac{1}{2}$ и $log_{5} \frac{1}{3}$;

3) $log_{\frac{1}{3}} 2$ и $log_{\frac{1}{3}} 4$;

4) $log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5}$ и $log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}$;

5) $log_{\frac{\pi}{2}} 0,7$ и $log_{\frac{\pi}{2}} 0,6$;

6) $log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4$ и $log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3$.

Для сравнения логарифмов с одинаковым основанием используется свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей, то есть большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение логарифма.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей, то есть большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение логарифма.

1) Сравнить $\log_{12}5$ и $\log_{12}6$.

Основание логарифмов $a = 12$. Так как $12 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{12}x$ является возрастающей. Сравним аргументы логарифмов: $5 < 6$. Поскольку функция возрастающая, меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{12}5 < \log_{12}6$.

Ответ: $\log_{12}5 < \log_{12}6$.

2) Сравнить $\log_5 \frac{1}{2}$ и $\log_5 \frac{1}{3}$.

Основание логарифмов $a = 5$. Так как $5 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_5 \frac{1}{2} > \log_5 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_5 \frac{1}{2} > \log_5 \frac{1}{3}$.

3) Сравнить $\log_{\frac{1}{3}}2$ и $\log_{\frac{1}{3}}4$.

Основание логарифмов $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ является убывающей. Сравним аргументы: $2 < 4$. Поскольку функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}}2 > \log_{\frac{1}{3}}4$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}2 > \log_{\frac{1}{3}}4$.

4) Сравнить $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5}$ и $\log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

Основание логарифмов $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < \frac{1}{9} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{9}}x$ является убывающей. Сравним аргументы $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю $30$: $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$ и $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Поскольку функция убывающая, меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

5) Сравнить $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7$ и $\log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

Основание логарифмов $a = \frac{\pi}{2}$. Оценим его значение. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $a = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{\pi}{2}}x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $0,7 > 0,6$. Так как функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

Ответ: $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

6) Сравнить $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4$ и $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.

Основание логарифмов $a = \frac{2\pi}{5}$. Оценим его значение. Чтобы сравнить $a$ с 1, сравним $2\pi$ и $5$. Так как $\pi > 2,5$, то $2\pi > 5$, и, следовательно, $a = \frac{2\pi}{5} > 1$. Логарифмическая функция $y = \log_{\frac{2\pi}{5}}x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $8,4 > 8,3$. Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.

Ответ: $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.