Номер 5.1, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.1, страница 40.

5.1. Возрастающей или убывающей является функция:

1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x;$

2) $y = \log_3 x;$

3) $y = \log_{0.1} x;$

4) $y = \lg x,$

5) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

6) $y = \log_{\frac{\pi}{3}} x;$

7) $y = \log_{\sqrt{2}-1} x;$

8) $y = \log_{\frac{\pi}{6}} x?$

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_3 x$

Основание логарифма $a = 3$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = \log_{0.1} x$

Основание логарифма $a = 0.1$. Поскольку $0 < 0.1 < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = \lg x$

Функция $y = \lg x$ является десятичным логарифмом, то есть $y = \log_{10} x$. Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

5) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{5}$. Чтобы сравнить основание с единицей, заметим, что $5 > 1$, а значит $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

6) $y = \log_{\frac{\pi}{3}} x$

Основание логарифма $a = \frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$, получаем $a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} > 1$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

7) $y = \log_{\sqrt{2}-1} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{2}-1$. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем $a \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Так как $0 < a < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

8) $y = \log_{\frac{\pi}{6}} x$

Основание логарифма $a = \frac{\pi}{6}$. Используя приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$, получаем $a \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.524$. Так как $0 < a < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.