Номер 4.44, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.44, страница 36.

4.44. Докажите, что функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x+3}{4}$ являются взаимно обратными.

Чтобы доказать, что функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x + 3}{4}$ являются взаимно обратными, необходимо показать, что одна из них является обратной для другой. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Нахождение обратной функции

Возьмем первую функцию $y = 4x - 3$. Чтобы найти для нее обратную, необходимо выразить переменную $x$ через $y$:

$y + 3 = 4x$

$x = \frac{y + 3}{4}$

Теперь, согласно определению обратной функции, поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить зависимость $y$ от $x$:

$y = \frac{x + 3}{4}$

Полученная функция в точности совпадает со второй данной функцией. Это доказывает, что данные функции являются взаимно обратными.

Способ 2: Проверка с помощью композиции функций

Две функции, которые мы обозначим как $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = \frac{x + 3}{4}$, являются взаимно обратными, если их композиция является тождественной функцией, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

1. Проверим первое условие, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = 4 \cdot g(x) - 3 = 4 \cdot \left( \frac{x + 3}{4} \right) - 3 = (x + 3) - 3 = x$

2. Проверим второе условие, подставив $f(x)$ в $g(x)$:

$g(f(x)) = \frac{f(x) + 3}{4} = \frac{(4x - 3) + 3}{4} = \frac{4x}{4} = x$

Так как оба условия, $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, выполняются, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x+3}{4}$ являются взаимно обратными, что и требовалось доказать.